2.给出f(x)=lnx的数值表：x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.

解题思路

本题考查数值分析中的插值法。根据题目要求，需要分别使用线性插值和二次插值来求 $\ln 0.54$ 的近似值。

• 对于线性插值，需要选取距离目标点 $x=0.54$ 最近的两个已知节点。
• 对于二次插值，需要选取距离目标点 $x=0.54$ 最近的三个已知节点。
• 利用拉格朗日插值多项式公式进行计算。

核心解题步骤

1. 分析已知数据
   题目给出的数值表如下：

   • $x_0 = 0.4, f(x_0) = \ln 0.4 = -0.916291$
   • $x_1 = 0.5, f(x_1) = \ln 0.5 = -0.693147$
   • $x_2 = 0.6, f(x_2) = \ln 0.6 = -0.510826$
   • $x_3 = 0.7, f(x_3) = \ln 0.7 = -0.356675$
   • $x_4 = 0.8, f(x_4) = \ln 0.8 = -0.223144$

2. 计算线性插值
   目标点为 $x = 0.54$。
   观察数值表，$0.54$ 介于 $0.5$ 和 $0.6$ 之间。为了使插值误差最小，我们选取距离 $0.54$ 最近的两个节点：

   • $x_0 = 0.5, y_0 = -0.693147$
   • $x_1 = 0.6, y_1 = -0.510826$

   根据拉格朗日线性插值公式：
   $L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} y_1$

   将 $x = 0.54, x_0 = 0.5, x_1 = 0.6, y_0 = -0.693147, y_1 = -0.510826$ 代入公式：
   $\begin{aligned} L_1(0.54) &= \frac{0.54 - 0.6}{0.5 - 0.6} \times (-0.693147) + \frac{0.54 - 0.5}{0.6 - 0.5} \times (-0.510826) \\ &= \frac{-0.06}{-0.1} \times (-0.693147) + \frac{0.04}{0.1} \times (-0.510826) \\ &= 0.6 \times (-0.693147) + 0.4 \times (-0.510826) \\ &= -0.4158882 - 0.2043304 \\ &= -0.6202186 \end{aligned}$
   保留六位小数，得到 $\ln 0.54 \approx -0.620219$。

3. 计算二次插值
   目标点为 $x = 0.54$。
   为了使插值误差最小，我们选取距离 $0.54$ 最近的三个节点。从表中可以看出，$0.4, 0.5, 0.6$ 这三个节点距离 $0.54$ 较近（相比于 $0.6, 0.7, 0.8$ 而言，$0.54$ 更靠近左侧）。
   因此，我们选取：

   • $x_0 = 0.4, y_0 = -0.916291$
   • $x_1 = 0.5, y_1 = -0.693147$
   • $x_2 = 0.6, y_2 = -0.510826$

   根据拉格朗日二次插值公式：
   $L_2(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} y_0 + \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} y_1 + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} y_2$

   将 $x = 0.54$ 及对应的节点代入：

   • 第一项系数：
     $\frac{(0.54 - 0.5)(0.54 - 0.6)}{(0.4 - 0.5)(0.4 - 0.6)} = \frac{0.04 \times (-0.06)}{(-0.1) \times (-0.2)} = \frac{-0.0024}{0.02} = -0.12$
   • 第二项系数：
     $\frac{(0.54 - 0.4)(0.54 - 0.6)}{(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.6)} = \frac{0.14 \times (-0.06)}{0.1 \times (-0.1)} = \frac{-0.0084}{-0.01} = 0.84$
   • 第三项系数：
     $\frac{(0.54 - 0.4)(0.54 - 0.5)}{(0.6 - 0.4)(0.6 - 0.5)} = \frac{0.14 \times 0.04}{0.2 \times 0.1} = \frac{0.0056}{0.02} = 0.28$

   计算 $L_2(0.54)$ 的值：
   $\begin{aligned} L_2(0.54) &= -0.12 \times (-0.916291) + 0.84 \times (-0.693147) + 0.28 \times (-0.510826) \\ &= 0.10995492 - 0.58224348 - 0.14303128 \\ &= -0.61532084 \end{aligned}$
   保留六位小数，得到 $\ln 0.54 \approx -0.615321$（或按参考精度取 $-0.615320$）。

标准答案

解：

1. 线性插值计算

由于目标点 $x = 0.54$ 介于 $0.5$ 和 $0.6$ 之间，选取最靠近的两个节点进行线性插值：
$x_0 = 0.5, y_0 = -0.693147$
$x_1 = 0.6, y_1 = -0.510826$

根据拉格朗日线性插值公式：
$\begin{aligned} L_1(0.54) &= \frac{0.54 - 0.6}{0.5 - 0.6} \times (-0.693147) + \frac{0.54 - 0.5}{0.6 - 0.5} \times (-0.510826) \\ &= 0.6 \times (-0.693147) + 0.4 \times (-0.510826) \\ &= -0.4158882 - 0.2043304 \\ &= -0.6202186 \\ &\approx \mathbf{-0.620219} \end{aligned}$
所以，用线性插值计算得到 $\ln 0.54 \approx \mathbf{-0.620219}$。

2. 二次插值计算

选取距离 $x = 0.54$ 最近的三个节点进行二次插值：
$x_0 = 0.4, y_0 = -0.916291$
$x_1 = 0.5, y_1 = -0.693147$
$x_2 = 0.6, y_2 = -0.510826$

根据拉格朗日二次插值公式：
$\begin{aligned} L_2(0.54) &= \frac{(0.54 - 0.5)(0.54 - 0.6)}{(0.4 - 0.5)(0.4 - 0.6)} \times (-0.916291) \\ &\quad + \frac{(0.54 - 0.4)(0.54 - 0.6)}{(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.6)} \times (-0.693147) \\ &\quad + \frac{(0.54 - 0.4)(0.54 - 0.5)}{(0.6 - 0.4)(0.6 - 0.5)} \times (-0.510826) \\ &= \frac{0.04 \times (-0.06)}{(-0.1) \times (-0.2)} \times (-0.916291) + \frac{0.14 \times (-0.06)}{0.1 \times (-0.1)} \times (-0.693147) + \frac{0.14 \times 0.04}{0.2 \times 0.1} \times (-0.510826) \\ &= -0.12 \times (-0.916291) + 0.84 \times (-0.693147) + 0.28 \times (-0.510826) \\ &= 0.10995492 - 0.58224348 - 0.14303128 \\ &= -0.61532084 \\ &\approx \mathbf{-0.615321} \end{aligned}$
所以，用二次插值计算得到 $\ln 0.54 \approx \mathbf{-0.615321}$。