题目
2. 某计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数. 设所有舍入误差是独立的，且在 (-0.5,0.5)上服从均匀分布，若将1500个数相加，试用中心极限定理计算误差总和的绝对值超过15的概率 (Phi((3)/(sqrt(5)))=0.9099). 参考答案：设每个加数的舍入误差为 X_(i)(i=1,2,...,1500)，X=sum_(i=1)^1500X_(i)，P|X|>15approx0.1802.
2. 某计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数. 设所有舍入误差是独立的，且在 (-0.5,0.5)上服从均匀分布，若将1500个数相加，试用中心极限定理计算误差总和的绝对值超过15的概率 $(\Phi(\frac{3}{\sqrt{5}})=0.9099)$.
参考答案：设每个加数的舍入误差为 $X_{i}(i=1,2,\cdots,1500)$，$X=\sum_{i=1}^{1500}X_{i}$，$P\{|X|>15\}\approx0.1802$.
题目解答
答案
设每个加数的舍入误差 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布，期望值 $E(X_i) = 0$，方差 $Var(X_i) = \frac{1}{12}$。总误差 $X = \sum_{i=1}^{1500} X_i$ 的期望值 $E(X) = 0$，方差 $Var(X) = 1500 \times \frac{1}{12} = 125$。
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 125)$。
标准化得 $Z = \frac{X}{\sqrt{125}}$，则 $P(|X| > 15) = P\left(|Z| > \frac{15}{\sqrt{125}}\right) = P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$。
已知 $\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 0.9099$，故
\[
P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 2[1 - \Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)] = 2 \times (1 - 0.9099) = 0.1802.
\]
**答案：** $\boxed{0.1802}$。
解析
步骤 1：定义随机变量
设每个加数的舍入误差为 $X_i$，其中 $i=1,2,\cdots,1500$。每个 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布。
步骤 2：计算单个误差的期望和方差
由于 $X_i$ 服从均匀分布，其期望值 $E(X_i) = 0$，方差 $Var(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算总误差的期望和方差
总误差 $X = \sum_{i=1}^{1500} X_i$ 的期望值 $E(X) = \sum_{i=1}^{1500} E(X_i) = 0$，方差 $Var(X) = \sum_{i=1}^{1500} Var(X_i) = 1500 \times \frac{1}{12} = 125$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 125)$。标准化得 $Z = \frac{X}{\sqrt{125}}$，则 $P(|X| > 15) = P\left(|Z| > \frac{15}{\sqrt{125}}\right) = P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$。
步骤 5：计算概率
已知 $\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 0.9099$，故 \[ P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 2[1 - \Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)] = 2 \times (1 - 0.9099) = 0.1802. \]
设每个加数的舍入误差为 $X_i$，其中 $i=1,2,\cdots,1500$。每个 $X_i$ 在 $(-0.5, 0.5)$ 上服从均匀分布。
步骤 2：计算单个误差的期望和方差
由于 $X_i$ 服从均匀分布，其期望值 $E(X_i) = 0$，方差 $Var(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算总误差的期望和方差
总误差 $X = \sum_{i=1}^{1500} X_i$ 的期望值 $E(X) = \sum_{i=1}^{1500} E(X_i) = 0$，方差 $Var(X) = \sum_{i=1}^{1500} Var(X_i) = 1500 \times \frac{1}{12} = 125$。
步骤 4：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(0, 125)$。标准化得 $Z = \frac{X}{\sqrt{125}}$，则 $P(|X| > 15) = P\left(|Z| > \frac{15}{\sqrt{125}}\right) = P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$。
步骤 5：计算概率
已知 $\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 0.9099$，故 \[ P\left(|Z| > \frac{3}{\sqrt{5}}\right) = 2[1 - \Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)] = 2 \times (1 - 0.9099) = 0.1802. \]