题目
把长度为a的木棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.
把长度为$$a$$的木棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义问题
将长度为$$a$$的木棒任意折成三段，设这三段的长度分别为$$x$$、$$y$$和$$a-x-y$$，其中$$0a-x-y$$，$$x+a-x-y>y$$，$$y+a-x-y>x$$。
步骤 2：确定条件
根据三角形的条件，可以得到以下不等式组：
$$\left \{ \begin{matrix} x+y>\dfrac {a}{2}\\ y>\dfrac {a}{2}-x\\ x>\dfrac {a}{2}-y\end{matrix} \right.$$
这组不等式表示了在$$x$$和$$y$$的取值范围内，能够构成三角形的条件。
步骤 3：计算概率
在$$x$$和$$y$$的取值范围内，构成三角形的区域为一个等腰直角三角形，其面积为$$\dfrac {1}{2}\times \dfrac {a}{2}\times \dfrac {a}{2}=\dfrac {a^2}{8}$$。而整个可能的取值范围是一个直角三角形，其面积为$$\dfrac {1}{2}\times a\times a=\dfrac {a^2}{2}$$。因此，构成三角形的概率为$$\dfrac {\dfrac {a^2}{8}}{\dfrac {a^2}{2}}=\dfrac {1}{4}$$。
将长度为$$a$$的木棒任意折成三段，设这三段的长度分别为$$x$$、$$y$$和$$a-x-y$$，其中$$0
步骤 2：确定条件
根据三角形的条件，可以得到以下不等式组：
$$\left \{ \begin{matrix} x+y>\dfrac {a}{2}\\ y>\dfrac {a}{2}-x\\ x>\dfrac {a}{2}-y\end{matrix} \right.$$
这组不等式表示了在$$x$$和$$y$$的取值范围内，能够构成三角形的条件。
步骤 3：计算概率
在$$x$$和$$y$$的取值范围内，构成三角形的区域为一个等腰直角三角形，其面积为$$\dfrac {1}{2}\times \dfrac {a}{2}\times \dfrac {a}{2}=\dfrac {a^2}{8}$$。而整个可能的取值范围是一个直角三角形，其面积为$$\dfrac {1}{2}\times a\times a=\dfrac {a^2}{2}$$。因此，构成三角形的概率为$$\dfrac {\dfrac {a^2}{8}}{\dfrac {a^2}{2}}=\dfrac {1}{4}$$。