题目
4.[填空题]设X~t(n)，则Y=(1)/(X^2)服从的分布为_____.(请写出分布类型和自由度)
4.[填空题]设X~t(n)，则$Y=\frac{1}{X^{2}}$服从的分布为_____.(请写出分布类型和自由度)
题目解答
答案
设 $ X \sim t(n) $，则 $ X = \frac{U}{\sqrt{V/n}} $，其中 $ U \sim N(0,1) $，$ V \sim \chi^2(n) $，且 $ U $ 与 $ V $ 独立。
平方得 $ X^2 = \frac{U^2}{V/n} $，由于 $ U^2 \sim \chi^2(1) $，
故 $ X^2 \sim F(1,n) $。
取倒数得 $ Y = \frac{1}{X^2} = \frac{V/n}{U^2} \sim F(n,1) $。
答案：$\boxed{F(n,1)}$
解析
步骤 1：定义变量
设 $ X \sim t(n) $，则 $ X = \frac{U}{\sqrt{V/n}} $，其中 $ U \sim N(0,1) $，$ V \sim \chi^2(n) $，且 $ U $ 与 $ V $ 独立。
步骤 2：平方变量
平方得 $ X^2 = \frac{U^2}{V/n} $，由于 $ U^2 \sim \chi^2(1) $， 故 $ X^2 \sim F(1,n) $。
步骤 3：取倒数
取倒数得 $ Y = \frac{1}{X^2} = \frac{V/n}{U^2} \sim F(n,1) $。
设 $ X \sim t(n) $，则 $ X = \frac{U}{\sqrt{V/n}} $，其中 $ U \sim N(0,1) $，$ V \sim \chi^2(n) $，且 $ U $ 与 $ V $ 独立。
步骤 2：平方变量
平方得 $ X^2 = \frac{U^2}{V/n} $，由于 $ U^2 \sim \chi^2(1) $， 故 $ X^2 \sim F(1,n) $。
步骤 3：取倒数
取倒数得 $ Y = \frac{1}{X^2} = \frac{V/n}{U^2} \sim F(n,1) $。