题目

设X_1,X_2,...,X_m和Y_1,Y_2,...,Y_n分别取自两个相互独立的正态总体N(mu_1,sigma_1^2)及N(mu_2,sigma_2^2),则服从F(m-1,n-1)的统计量是() A. mu_1及mu_2已知,F=(sigma_1^2)/(sigma_2^2),其中sigma_1^2=(1)/(m)sum_(i=1)^m(X_i-mu_1)^2,sigma_2^2=(1)/(n)sum_(j=1)^n(Y_j-mu_2)^2B. mu_1及mu_2未知,F=(S_1^2sigma_1^2)/(S_2^2sigma_1^2),其中S_1^2=(1)/(m-1)sum_(i=1)^m(X_i-overline(X))^2,S_2^2=(1)/(n-1)sum_(j=1)^n(Y_j-overline(Y))^2C. sigma_1^2及sigma_2^2已知,U=(X_i-overline(Y))/(sqrt((frac(sigma_1^2){m))^2+((sigma_2^2)/(n))^2)}D. sigma_1^2及sigma_2^2未知,T=(X_i-overline(X))/(S_wsqrt(frac(1){m)+(1)/(n))},其中S_w=sqrt(((m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2)/(m+n-2))

设$X_1,X_2,\cdots,X_m$和$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$分别取自两个相互独立的正态总体$N(\mu_1,\sigma_1^2)$及$N(\mu_2,\sigma_2^2)$,则服从$F(m-1,n-1)$的统计量是()

  • A. $\mu_1$及$\mu_2$已知,$F=\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$,其中$\sigma_1^2=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(X_i-\mu_1)^2,\sigma_2^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(Y_j-\mu_2)^2$
  • B. $\mu_1$及$\mu_2$未知,$F=\frac{S_1^2\sigma_1^2}{S_2^2\sigma_1^2}$,其中$S_1^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m}(X_i-\overline{X})^2,S_2^2=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(Y_j-\overline{Y})^2$
  • C. $\sigma_1^2$及$\sigma_2^2$已知,$U=\frac{X_i-\overline{Y}}{\sqrt{\left(\frac{\sigma_1^2}{m}\right)^2+\left(\frac{\sigma_2^2}{n}\right)^2}}$
  • D. $\sigma_1^2$及$\sigma_2^2$未知,$T=\frac{X_i-\overline{X}}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$,其中$S_w=\sqrt{\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}}$

题目解答

答案

选项A：$\mu_1$或$\mu_2$已知，统计量为$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$，其中$\sigma_1^2$和$\sigma_2^2$为样本方差，但自由度为$m$和$n$，服从$F(m, n)$，排除。 选项B：$\mu_1$和$\mu_2$未知，统计量为$\frac{S_1^2 \sigma_2^2}{S_2^2 \sigma_1^2}$，其中$S_1^2$和$S_2^2$为无偏样本方差，自由度为$m-1$和$n-1$，符合$F(m-1, n-1)$。 选项C：$\mu_1$和$\sigma_2$已知，统计量为标准正态分布，排除。 选项D：$\mu_1$和$\mu_2$未知，统计量服从$t(m+n-2)$分布，排除。 **答案：B**

解析

本题考查的是两个相互独立的正态总体样本方差比所服从的分布，解题思路是根据不同已知条件，分析统计量的形式以及自由度，进而判断其是否服从$F$分布。

选项A分析

当$\mu_1$及$\mu_2$已知时，统计量$F = \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$，其中$\sigma_1^2=\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}(X_i - \mu_1)^2$，$\sigma_2^2=\frac{1}{n}\sum_{j = 1}^{n}(Y_j - \mu_2)^2$。这里$\sigma_1^2$和$\sigma_2^2$是样本方差，自由度分别为$m$和$n$，该统计量服从$F(m, n)$分布，而不是$F(m - 1, n - 1)$分布，所以选项A不符合要求。

选项B分析

当$\mu_1$及$\mu_2$未知时，统计量$F=\frac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2}$，其中$S_1^2=\frac{1}{m - 1}\sum_{i = 1}^{m}(X_i - \overline{X})^2$，$S_2^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{j = 1}^{n}(Y_j - \overline{Y})^2$。这里$S_1^2$和$S_2^2$是无偏样本方差，自由度分别为$m - 1$和$n - 1$，该统计量服从$F(m - 1, n - 1)$分布，所以选项B符合要求。

选项C分析

当$\sigma_1^2$及$\sigma_2^2$已知时，统计量$U=\frac{X_i-\overline{Y}}{\sqrt{\left(\frac{\sigma_1^2}{m}\right)^2+\left(\frac{\sigma_2^2}{n}\right)^2}}$，它服从标准正态分布，而不是$F$分布，所以选项C不符合要求。

选项D分析

当$\sigma_1^2$及$\sigma_2^2$未知时，统计量$T=\frac{X_i-\overline{X}}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$，其中$S_w=\sqrt{\frac{(m - 1)S_1^2+(n - 1)S_2^2}{m + n - 2}}$。该统计量服从$t(m + n - 2)$分布，而不是$F$分布，所以选项D不符合要求。