题目
设相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差为 4 和 2，则随机变量 3X - 2Y 的方差为 A. 8B. 16C. 28D. 44
设相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差为 4 和 2，则随机变量 $3X - 2Y$ 的方差为
- A. 8
- B. 16
- C. 28
- D. 44
题目解答
答案
根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有：
\[
\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)
\]
代入 $a = 3$，$b = -2$，$\text{Var}(X) = 4$，$\text{Var}(Y) = 2$，得：
\[
\text{Var}(3X - 2Y) = 3^2 \times 4 + (-2)^2 \times 2 = 9 \times 4 + 4 \times 2 = 36 + 8 = 44
\]
因此，答案为 $\boxed{D}$。
解析
步骤 1：应用方差的性质
对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，方差的性质为： \[ \text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) \] 这里，$a = 3$，$b = -2$，$\text{Var}(X) = 4$，$\text{Var}(Y) = 2$。
步骤 2：代入数值计算
将给定的数值代入方差的性质公式中，得： \[ \text{Var}(3X - 2Y) = 3^2 \times 4 + (-2)^2 \times 2 = 9 \times 4 + 4 \times 2 = 36 + 8 = 44 \]
步骤 3：得出结论
根据计算结果，随机变量 $3X - 2Y$ 的方差为 44。
对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，方差的性质为： \[ \text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y) \] 这里，$a = 3$，$b = -2$，$\text{Var}(X) = 4$，$\text{Var}(Y) = 2$。
步骤 2：代入数值计算
将给定的数值代入方差的性质公式中，得： \[ \text{Var}(3X - 2Y) = 3^2 \times 4 + (-2)^2 \times 2 = 9 \times 4 + 4 \times 2 = 36 + 8 = 44 \]
步骤 3：得出结论
根据计算结果，随机变量 $3X - 2Y$ 的方差为 44。