题目
设 X_1, X_2, dotsc, X_n 是来自总体 X 的样本，X sim E(lambda)，则 E(overline(X))= _ ，D(overline(X))= _ A. 1/lambda , 1/lambda^2 B. 1/(nlambda), 1/(nlambda^2) C. 1/lambda , 1/lambda D. 1/lambda , 1/(nlambda^2)
$$ 设 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $是来自总体 $X $的样本，$X \sim E(\lambda)$，则 $E(\overline{X})= \\_ $，$D(\overline{X})= \\_ $ $$
- A. $$ $1/\lambda $, $1/\lambda^2$ $$
- B. $$ $1/(n\lambda)$, $1/(n\lambda^2)$ $$
- C. $$ $1/\lambda $, $1/\lambda $ $$
- D. $$ $1/\lambda $, $1/(n\lambda^2)$ $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：理解总体分布
$X \sim E(\lambda)$ 表示 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。指数分布的期望值 $E(X) = 1/\lambda$，方差 $D(X) = 1/\lambda^2$。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。由于期望值的线性性质，$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E(X) = E(X) = 1/\lambda$。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot D(X) = \frac{1}{n} D(X) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n\lambda^2}$。
$X \sim E(\lambda)$ 表示 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。指数分布的期望值 $E(X) = 1/\lambda$，方差 $D(X) = 1/\lambda^2$。
步骤 2：计算样本均值的期望值
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。由于期望值的线性性质，$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot E(X) = E(X) = 1/\lambda$。
步骤 3：计算样本均值的方差
样本均值的方差 $D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot D(X) = \frac{1}{n} D(X) = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{n\lambda^2}$。