题目

5.设随机变量Xsim N(0,2^2)，Ysim U(0,4)，且X,Y相互独立，求D(X+Y)，D(2X-3Y).

5.设随机变量$X\sim N(0,2^{2})$，$Y\sim U(0,4)$，且X,Y相互独立，求$D(X+Y)$，$D(2X-3Y)$.

题目解答

答案

为了求解 $D(X+Y)$ 和 $D(2X-3Y)$，我们需要使用随机变量方差的性质。具体来说，对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，方差的性质如下： 1. $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 2. $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$ 首先，我们需要知道 $X$ 和 $Y$ 的方差。 - 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0, 2^2)$。正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的方差是 $\sigma^2$，所以 $D(X) = 2^2 = 4$。 - 随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U(0, 4)$。均匀分布 $U(a, b)$ 的方差是 $\frac{(b-a)^2}{12}$，所以 $D(Y) = \frac{(4-0)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$。 现在，我们可以求解 $D(X+Y)$ 和 $D(2X-3Y)$。 1. 求 $D(X+Y)$: \[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \] 2. 求 $D(2X-3Y)$: \[ D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{4}{3} = 16 + 12 = 28 \] 因此，答案是: \[ \boxed{\frac{16}{3}, 28} \]

解析

考查要点：本题主要考查独立随机变量的方差性质，以及正态分布、均匀分布的方差计算。

解题核心思路：

  1. 方差的性质：对于独立随机变量$X$和$Y$，有$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$；对于线性组合$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$。
  2. 分布方差计算：正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的方差为$\sigma^2$，均匀分布$U(a,b)$的方差为$\frac{(b-a)^2}{12}$。

破题关键：

  • 确定$X$和$Y$的方差：根据分布类型直接计算。
  • 应用方差性质：将系数平方后与对应方差相乘，再相加。

步骤1：计算$D(X)$和$D(Y)$

  1. 正态分布$X\sim N(0,2^2)$：方差为$\sigma^2=2^2=4$，即$D(X)=4$。
  2. 均匀分布$Y\sim U(0,4)$：方差为$\frac{(4-0)^2}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$，即$D(Y)=\frac{4}{3}$。

步骤2：计算$D(X+Y)$

根据独立随机变量方差性质：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}.$

步骤3：计算$D(2X-3Y)$

根据线性组合方差性质：
$D(2X-3Y) = 2^2D(X) + (-3)^2D(Y) = 4 \cdot 4 + 9 \cdot \frac{4}{3} = 16 + 12 = 28.$