题目
x=0为函数f(x)=cases ( x-1,xlt 0cr 0,x=0cr x+1,xgt 0)的_____间断点。
$x=0$为函数$f(x)=\cases { x-1,x\lt 0\cr 0,x=0\cr x+1,x\gt 0}$的_____间断点。
题目解答
答案
跳跃
解析
步骤 1：计算左极限
计算$x=0$左侧的极限，即$\lim_{x \to 0^-} f(x)$。根据函数定义，当$x<0$时，$f(x)=x-1$。因此，$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x-1) = -1$。
步骤 2：计算右极限
计算$x=0$右侧的极限，即$\lim_{x \to 0^+} f(x)$。根据函数定义，当$x>0$时，$f(x)=x+1$。因此，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$和$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，且这两个极限值不相等，因此$x=0$是函数$f(x)$的跳跃间断点。
计算$x=0$左侧的极限，即$\lim_{x \to 0^-} f(x)$。根据函数定义，当$x<0$时，$f(x)=x-1$。因此，$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x-1) = -1$。
步骤 2：计算右极限
计算$x=0$右侧的极限，即$\lim_{x \to 0^+} f(x)$。根据函数定义，当$x>0$时，$f(x)=x+1$。因此，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$。
步骤 3：判断间断点类型
由于$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$和$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，且这两个极限值不相等，因此$x=0$是函数$f(x)$的跳跃间断点。