题目
在总体approx N(80,(20)^2)中，随机抽取一容量100的样本，求样本均值与总体期望的差的绝对值大于4的概率是多少？(其中approx N(80,(20)^2))
在总体
中，随机抽取一容量100的样本，求样本均值与总体期望的差的绝对值大于4的概率是多少？(其中
)
题目解答
答案
因总体服从正态分布，由fisher引理可得，
，即
将
标准化有
4\right)=P\left(\frac{\left|\overline{X}-80\right|}{2}>2\right)" data-width="352" data-height="76" data-size="5661" data-format="png" style="max-width:100%">
故答案为0.0456.
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于总体$X$服从正态分布$N(80,20^2)$，根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值$\mu=80$，方差为总体方差除以样本容量，即$\sigma^2/n=20^2/100=4$。因此，$\overline{X}\sim N(80,4)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算概率，需要将样本均值$\overline{X}$标准化。标准化后的变量$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，即$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-80}{2}$。
步骤 3：计算概率
要求的是$P(|\overline{X}-80|>4)$，即$P(\frac{|\overline{X}-80|}{2}>2)$。由于$Z$服从标准正态分布，可以利用标准正态分布表查得$P(Z>2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228$。因为$|\overline{X}-80|>4$包括了$Z>2$和$Z<-2$两种情况，所以$P(|\overline{X}-80|>4)=2P(Z>2)=2\times0.0228=0.0456$。
由于总体$X$服从正态分布$N(80,20^2)$，根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$也服从正态分布，其均值为总体均值$\mu=80$，方差为总体方差除以样本容量，即$\sigma^2/n=20^2/100=4$。因此，$\overline{X}\sim N(80,4)$。
步骤 2：标准化样本均值
为了计算概率，需要将样本均值$\overline{X}$标准化。标准化后的变量$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，即$Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-80}{2}$。
步骤 3：计算概率
要求的是$P(|\overline{X}-80|>4)$，即$P(\frac{|\overline{X}-80|}{2}>2)$。由于$Z$服从标准正态分布，可以利用标准正态分布表查得$P(Z>2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228$。因为$|\overline{X}-80|>4$包括了$Z>2$和$Z<-2$两种情况，所以$P(|\overline{X}-80|>4)=2P(Z>2)=2\times0.0228=0.0456$。