题目
4【单选题】设X_(1),X_(2),X_(3),X_(4)为来自总体X的样本，则下列（）不是总体均值无偏估计量.A. hat(mu)_(1)=0.2X_(1)+0.3X_(2)+0.1X_(3)+0.4X_(4)B. hat(mu)_(2)=X_(1)C. hat(mu)_(3)=0.2X_(1)+0.2X_(2)+0.2X_(3)+0.2X_(4)D. hat(mu)_(4)=2X_(1)+X_(2)-2X_(3)
4【单选题】设$X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$为来自总体X的样本，则下列（）不是总体均值无偏估计量.
A. $\hat{\mu}_{1}=0.2X_{1}+0.3X_{2}+0.1X_{3}+0.4X_{4}$
B. $\hat{\mu}_{2}=X_{1}$
C. $\hat{\mu}_{3}=0.2X_{1}+0.2X_{2}+0.2X_{3}+0.2X_{4}$
D. $\hat{\mu}_{4}=2X_{1}+X_{2}-2X_{3}$
题目解答
答案
C. $\hat{\mu}_{3}=0.2X_{1}+0.2X_{2}+0.2X_{3}+0.2X_{4}$
解析
无偏估计量的定义是：估计量的期望等于被估计的总体参数。对于总体均值$\mu$的无偏估计量，需满足$E[\hat{\mu}] = \mu$。本题需判断四个选项中哪个不满足这一条件。
关键思路：
- 计算每个选项的线性组合系数之和；
- 若系数之和为$1$，则$E[\hat{\mu}] = \mu$，是无偏估计量；
- 若系数之和不等于$1$，则$E[\hat{\mu}] \neq \mu$，不是无偏估计量。
选项分析
A. $\hat{\mu}_{1}=0.2X_{1}+0.3X_{2}+0.1X_{3}+0.4X_{4}$
- 系数和：$0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.4 = 1$
- 结论：是无偏估计量。
B. $\hat{\mu}_{2}=X_{1}$
- 系数和：$1$（仅$X_1$的系数为$1$）
- 结论：是无偏估计量。
C. $\hat{\mu}_{3}=0.2X_{1}+0.2X_{2}+0.2X_{3}+0.2X_{4}$
- 系数和：$0.2 \times 4 = 0.8 \neq 1$
- 结论：不是无偏估计量。
D. $\hat{\mu}_{4}=2X_{1}+X_{2}-2X_{3}$
- 系数和：$2 + 1 - 2 = 1$
- 结论：是无偏估计量。