某种产品尺寸误差sim N((0,2.5)^2)，误差的绝对值不超过3为合格品，今任取5件，用sim N((0,2.5)^2)表示5件中的合格品数。( 1 ) 求sim N((0,2.5)^2)的分布律 ( 用公式法表示 ) ; ( 2 ) 求抽取的5件产品中至少有4件合格品的概率。

考查要点：

1. 正态分布的标准化转换：将非标准正态分布转换为标准正态分布，利用标准正态分布函数计算概率。
2. 二项分布的分布律：理解独立重复试验中事件发生次数的分布规律。
3. 二项分布的概率计算：根据二项分布公式计算特定事件的概率。

解题核心思路：

1. 单个产品合格概率的计算：通过标准化将误差范围转化为标准正态分布的概率，得到合格概率$p$。
2. 二项分布的应用：明确抽取5件产品是独立事件，合格品数$Y$服从二项分布$B(5,p)$，进而写出分布律。
3. 至少4件合格的概率：利用二项分布公式分别计算$Y=4$和$Y=5$的概率并求和。

破题关键点：

• 标准化转换：正确计算$P(|X| \leq 3)$对应的标准正态分布分位数。
• 二项分布公式：准确写出分布律并代入参数，注意组合数和幂次的计算。

第（1）题

目标：求合格品数$Y$的分布律。

计算单个产品合格概率$p$

1. 标准化处理：
   误差$X \sim N(0, 2.5^2)$，标准化后$\dfrac{X}{2.5} \sim N(0,1)$。
2. 概率转换：
   $P(|X| \leq 3) = P\left(-1.2 \leq \dfrac{X}{2.5} \leq 1.2\right) = \Phi(1.2) - \Phi(-1.2) = 2\Phi(1.2) - 1,$
   其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布函数，因此合格概率$p = 2\Phi(1.2) - 1$。

确定分布律

抽取5件产品是独立事件，合格品数$Y$服从二项分布$B(5,p)$，分布律为：
$P(Y = k) = C_5^k p^k (1-p)^{5-k}, \quad k = 0,1,2,3,4,5.$

第（2）题

目标：求$P(Y \geq 4)$。

分解事件

$P(Y \geq 4) = P(Y = 4) + P(Y = 5).$

计算各部分概率

1. $P(Y = 4)$：
   $C_5^4 p^4 (1-p)^1 = 5 p^4 (1-p).$
2. $P(Y = 5)$：
   $C_5^5 p^5 (1-p)^0 = p^5.$

合并结果

$P(Y \geq 4) = 5 p^4 (1-p) + p^5 = p^4 (5 - 4p).$