题目

24、曲线y=sqrt(x)与x=t(t>0)及x轴所围成的平面图形为D，其面积记为S，图形D分别绕x轴，y轴旋转一周所得的旋转体的体积分别为V_(1),V_(2).(1)当t=9时，求图形面积S；(2)当V_(1)=V_(2)时，求t的值.

24、曲线$y=\sqrt{x}$与x=t(t>0)及x轴所围成的平面图形为D，其面积记为S，图形D分别绕x轴，y轴旋转一周所得的旋转体的体积分别为$V_{1},V_{2}$. (1)当t=9时，求图形面积S； (2)当$V_{1}=V_{2}$时，求t的值.

题目解答

答案

(1) 当 $ t = 9 $ 时，面积 $ S $ 为： \[ S = \int_{0}^{9} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{9} = \frac{2}{3} \times 27 = 18 \] **答案：** $ \boxed{18} $ (2) 当 $ V_1 = V_2 $ 时， - 绕 $ x $-轴旋转体积 $ V_1 = \pi \int_{0}^{t} x \, dx = \frac{\pi t^2}{2} $， - 绕 $ y $-轴旋转体积 $ V_2 = 2\pi \int_{0}^{t} x\sqrt{x} \, dx = \frac{4\pi t^{5/2}}{5} $。 令 $ V_1 = V_2 $，得： \[ \frac{\pi t^2}{2} = \frac{4\pi t^{5/2}}{5} \implies t^{1/2} = \frac{5}{8} \implies t = \frac{25}{64} \] **答案：** $ \boxed{\frac{25}{64}} $

解析

考查要点：本题主要考查定积分在几何中的应用，包括平面图形的面积计算以及旋转体体积的求解方法。
解题思路：

  1. 面积计算：直接对曲线$y=\sqrt{x}$在区间$[0, t]$上积分即可。
  2. 体积计算：
    • 绕$x$轴旋转：使用圆盘法，体积公式为$\pi \int y^2 dx$。
    • 绕$y$轴旋转：使用壳层法，体积公式为$2\pi \int x \cdot y dx$。
      关键点：正确选择积分方法，注意积分上下限和代数运算的准确性。

第（1）题

求面积$S$
当$t=9$时，图形$D$由曲线$y=\sqrt{x}$、直线$x=9$和$x$轴围成。
面积$S$为曲线$y=\sqrt{x}$在区间$[0,9]$上的积分：
$S = \int_{0}^{9} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{9} = \frac{2}{3} \times 9^{3/2} = \frac{2}{3} \times 27 = 18.$

第（2）题

求$V_1 = V_2$时的$t$值

  1. 绕$x$轴旋转体积$V_1$
    使用圆盘法，体积公式为：
    $V_1 = \pi \int_{0}^{t} y^2 dx = \pi \int_{0}^{t} x \, dx = \pi \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{t} = \frac{\pi t^2}{2}.$

  2. 绕$y$轴旋转体积$V_2$
    使用壳层法，体积公式为：
    $V_2 = 2\pi \int_{0}^{t} x \cdot y \, dx = 2\pi \int_{0}^{t} x \sqrt{x} \, dx = 2\pi \int_{0}^{t} x^{3/2} \, dx = 2\pi \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{t} = \frac{4\pi t^{5/2}}{5}.$

  3. 解方程$V_1 = V_2$
    联立方程：
    $\frac{\pi t^2}{2} = \frac{4\pi t^{5/2}}{5}.$
    消去$\pi$并整理得：
    $t^2 = \frac{8}{5} t^{5/2} \implies t^{1/2} = \frac{5}{8} \implies t = \left( \frac{5}{8} \right)^2 = \frac{25}{64}.$