题目
设θ是总体X的参数，(underline(theta),overline(theta))为θ的置信水平为1-a的置信区间，则式子（ ）成立.A. P(underline(theta)B. P(underline(theta)C. P(underline(theta)D. P(thetaleqoverline(theta))=P(thetageqoverline(theta))=(alpha)/(2).
设θ是总体X的参数，$(\underline{\theta},\overline{\theta})$为θ的置信水平为1-a的置信区间，则式子（ ）成立.
A. P($\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}$)=1-a;
B. P($\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}$)=a;
C. P($\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}$)=1-$\frac{\alpha}{2}$;
D. P($\theta\leq\overline{\theta}$)=P($\theta\geq\overline{\theta}$)=$\frac{\alpha}{2}$.
题目解答
答案
A. P($\underline{\theta}<\theta<\overline{\theta}$)=1-a;
解析
步骤 1：理解置信区间的定义
置信水平为 $1 - \alpha$ 的参数 $\theta$ 的置信区间 $(\underline{\theta}, \overline{\theta})$ 意味着如果从总体中重复抽取许多样本，并为每个样本构造置信区间，那么这些区间中包含真参数值 $\theta$ 的比例将大约为 $1 - \alpha$。换句话说，置信区间 $(\underline{\theta}, \overline{\theta})$ 包含真参数值 $\theta$ 的概率为 $1 - \alpha$。这可以数学地表示为：\[ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha \]
步骤 2：分析每个选项
(A) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha $ 这是置信区间定义的正确陈述。因此，这个选项是正确的。
(B) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = \alpha $ 这个陈述是错误的，因为置信区间包含真参数值的概率是 $1 - \alpha$，而不是 $\alpha$。
(C) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \frac{\alpha}{2} $ 这个陈述是错误的，因为置信区间包含真参数值的概率是 $1 - \alpha$，而不是 $1 - \frac{\alpha}{2}$。
(D) $ P(\theta \leq \overline{\theta}) = P(\theta \geq \overline{\theta}) = \frac{\alpha}{2} $ 这个陈述不一定正确。虽然在对称区间中，真参数值 $\theta$ 小于下限或大于上限的概率可能各为 $\frac{\alpha}{2}$，但置信区间不一定必须是对称的。因此，这个选项是错误的。
置信水平为 $1 - \alpha$ 的参数 $\theta$ 的置信区间 $(\underline{\theta}, \overline{\theta})$ 意味着如果从总体中重复抽取许多样本，并为每个样本构造置信区间，那么这些区间中包含真参数值 $\theta$ 的比例将大约为 $1 - \alpha$。换句话说，置信区间 $(\underline{\theta}, \overline{\theta})$ 包含真参数值 $\theta$ 的概率为 $1 - \alpha$。这可以数学地表示为：\[ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha \]
步骤 2：分析每个选项
(A) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \alpha $ 这是置信区间定义的正确陈述。因此，这个选项是正确的。
(B) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = \alpha $ 这个陈述是错误的，因为置信区间包含真参数值的概率是 $1 - \alpha$，而不是 $\alpha$。
(C) $ P(\underline{\theta} < \theta < \overline{\theta}) = 1 - \frac{\alpha}{2} $ 这个陈述是错误的，因为置信区间包含真参数值的概率是 $1 - \alpha$，而不是 $1 - \frac{\alpha}{2}$。
(D) $ P(\theta \leq \overline{\theta}) = P(\theta \geq \overline{\theta}) = \frac{\alpha}{2} $ 这个陈述不一定正确。虽然在对称区间中，真参数值 $\theta$ 小于下限或大于上限的概率可能各为 $\frac{\alpha}{2}$，但置信区间不一定必须是对称的。因此，这个选项是错误的。