2.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦·时)是一连续型随机变量，概率密度函数为f(x)=}12x(1-x)^2,&0<1,0,&其他.<|im_end|>假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦·时，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万千瓦·时，每天供电量不足的概率是多少?

本题考查连续型随机变量的概率计算，解题思路是根据已知的概率密度函数，利用定积分来计算供电量不足的概率。具体步骤如下：

1. 明确供电量不足的条件，即用电量 $X$ 大于供电量。由于题目中供电量的单位是万千瓦·时，而概率密度函数中 $X$ 的单位是百万千瓦·时，所以需要先将供电量的单位进行换算。
2. 根据概率密度函数的性质，对于连续型随机变量 $X$，$P(a < X < b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$，这里我们要求 $P(X > c)$（$c$ 为供电量对应的 $X$ 值），则 $P(X > c)=\int_{c}^{+\infty}f(x)dx$，结合本题概率密度函数 $f(x)$ 的定义域，实际计算为 $P(X > c)=\int_{c}^{1}f(x)dx$。
3. 对概率密度函数 $f(x)=12x(1 - x)^2$ 进行积分运算，先将 $(1 - x)^2$ 展开，再分别对各项积分，得到原函数。
4. 将积分上下限代入原函数，计算出定积分的值，即为供电量不足的概率。

当供电量为 80 万千瓦·时（即 $x > 0.8$）时：

• 供电量不足的概率为 $P(X > 0.8)$，根据上述思路可得：
  $\begin{align*}P(X > 0.8) &= \int_{0.8}^{1} 12x(1 - x)^2 dx\\&= \int_{0.8}^{1} 12x(1 - 2x + x^2) dx\\&= \int_{0.8}^{1} (12x - 24x^2 + 12x^3) dx\\&= \left[ 6x^2 - 8x^3 + 3x^4 \right]_{0.8}^{1}\\&= (6\times1^2 - 8\times1^3 + 3\times1^4) - (6\times0.8^2 - 8\times0.8^3 + 3\times0.8^4)\\&= (6 - 8 + 3) - (6\times0.64 - 8\times0.512 + 3\times0.4096)\\&= 1 - (3.84 - 4.096 + 1.2288)\\&= 1 - 0.9728\\&= 0.0272\end{align*}$

当供电量为 90 万千瓦·时（即 $x > 0.9$）时：

• 供电量不足的概率为 $P(X > 0.9)$，同理可得：
  $\begin{align*}P(X > 0.9) &= \int_{0.9}^{1} 12x(1 - x)^2 dx\\&= \int_{0.9}^{1} (12x - 24x^2 + 12x^3) dx\\&= \left[ 6x^2 - 8x^3 + 3x^4 \right]_{0.9}^{1}\\&= (6\times1^2 - 8\times1^3 + 3\times1^4) - (6\times0.9^2 - 8\times0.9^3 + 3\times0.9^4)\\&= (6 - 8 + 3) - (6\times0.81 - 8\times0.729 + 3\times0.6561)\\&= 1 - (4.86 - 5.832 + 1.9683)\\&= 1 - 0.9963\\&= 0.0037\end{align*}$