题目

【习题107】(2023-数一)已知向量alpha_(1)=(}1011若gamma^Talpha_(i)=beta^Talpha_(i)(i=1,2,3)，则k_(1)^2+k_(2)^2+k_(3)^2=____.

【习题107】(2023-数一)已知向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{matrix}1\\0\\1\\1\end{matrix}\right),\alpha_{2}=\left(\begin{matrix}-1\\-1\\0\\1\end{matrix}\right),\alpha_{3}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-1\\1\end{matrix}\right),\beta=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\\-1\end{matrix}\right),\gamma=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}$ 若$\gamma^{T}\alpha_{i}=\beta^{T}\alpha_{i}(i=1,2,3)$，则$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=$____.

题目解答

答案

设 $\gamma = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3$，由条件 $\gamma^T \alpha_i = \beta^T \alpha_i$（$i=1,2,3$）得： \[ \begin{cases} k_1 \alpha_1^T \alpha_1 = \beta^T \alpha_1 = 1 \\ k_2 \alpha_2^T \alpha_2 = \beta^T \alpha_2 = -3 \\ k_3 \alpha_3^T \alpha_3 = \beta^T \alpha_3 = -1 \end{cases} \] 其中，$\alpha_i^T \alpha_i = 3$（$i=1,2,3$），解得 $k_1 = \frac{1}{3}$，$k_2 = -1$，$k_3 = -\frac{1}{3}$。 因此，$k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + (-1)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{11}{9}$。 答案：$\boxed{\frac{11}{9}}$

解析

本题考查向量的内积运算以及线性方程组的求解。解题的关键思路是根据已知条件$\gamma^{T}\alpha_{i}=\beta^{T}\alpha_{i}(i = 1,2,3)$，结合$\gamma = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}$，通过向量内积的运算性质得到关于$k_1,k_2,k_3$的方程组，进而求解$k_1,k_2,k_3$的值，最后计算$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$。

  1. 首先，根据向量内积的运算性质，对于$\gamma = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}$，有$\gamma^{T}\alpha_{i}=(k_{1}\alpha_{1}^{T}+k_{2}\alpha_{2}^{T}+k_{3}\alpha_{3}^{T})\alpha_{i}=k_{1}\alpha_{1}^{T}\alpha_{i}+k_{2}\alpha_{2}^{T}\alpha_{i}+k_{3}\alpha_{3}^{T}\alpha_{i}$。
    • 当$i = 1$时，$\gamma^{T}\alpha_{1}=k_{1}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}^{T}\alpha_{1}+k_{3}\alpha_{3}^{T}\alpha_{1}$，又因为$\gamma^{T}\alpha_{1}=\beta^{T}\alpha_{1}$，所以$k_{1}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}^{T}\alpha_{1}+k_{3}\alpha_{3}^{T}\alpha_{1}=\beta^{T}\alpha_{1}$。
    • 计算$\alpha_{1}^{T}\alpha_{1}$：
      • 根据向量内积的计算公式，若$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4)^T$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,b_4)^T$，则$\vec{a}^T\vec{b}=a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + a_4b_4$。
      • 对于$\alpha_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_{1}^{T}\alpha_{1}=1\times1 + 0\times0 + 1\times1 + 1\times1 = 3$。
    • 计算$\alpha_{2}^{T}\alpha_{1}$：
      • 对于$\alpha_{2}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_{2}^{T}\alpha_{1}=(-1)\times1+(-1)\times0 + 0\times1+1\times1 = 0$。
    • 计算$\alpha_{3}^{T}\alpha_{1}$：
      • 对于$\alpha_{3}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_{3}^{T}\alpha_{1}=0\times1 + 1\times0+(-1)\times1 + 1\times1 = 0$。
    • 计算$\beta^{T}\alpha_{1}$：
      • 对于$\beta=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$，$\beta^{T}\alpha_{1}=1\times1 + 1\times0+1\times1+(-1)\times1 = 1$。
    • 所以$k_{1}\times3 + k_{2}\times0 + k_{3}\times0 = 1$，即$3k_{1}=1$。
  2. 当$i = 2$时，同理可得$\gamma^{T}\alpha_{2}=k_{1}\alpha_{1}^{T}\alpha_{2}+k_{2}\alpha_{2}^{T}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}^{T}\alpha_{2}=\beta^{T}\alpha_{2}$。
    • 计算$\alpha_{2}^{T}\alpha_{2}$：
      • $\alpha_{2}^{T}\alpha_{2}=(-1)\times(-1)+(-1)\times(-1)+0\times0 + 1\times1 = 3$。
    • 计算$\alpha_{1}^{T}\alpha_{2}$：
      • $\alpha_{1}^{T}\alpha_{2}=1\times(-1)+0\times(-1)+1\times0 + 1\times1 = 0$。
    • 计算$\alpha_{3}^{T}\alpha_{2}$：
      • $\alpha_{3}^{T}\alpha_{2}=0\times(-1)+1\times(-1)+(-1)\times0 + 1\times1 = 0$。
    • 计算$\beta^{T}\alpha_{2}$：
      • $\beta^{T}\alpha_{2}=1\times(-1)+1\times(-1)+1\times0+(-1)\times1=-3$。
    • 所以$k_{1}\times0 + k_{2}\times3 + k_{3}\times0=-3$，即$3k_{2}=-3$。
  3. 当$i = 3$时，同理可得$\gamma^{T}\alpha_{3}=k_{1}\alpha_{1}^{T}\alpha_{3}+k_{2}\alpha_{2}^{T}\alpha_{3}+k_{3}\alpha_{3}^{T}\alpha_{3}=\beta^{T}\alpha_{3}$。
    • 计算$\alpha_{3}^{T}\alpha_{3}$：
      • $\alpha_{3}^{T}\alpha_{3}=0\times0 + 1\times1+(-1)\times(-1)+1\times1 = 3$。
    • 计算$\alpha_{1}^{T}\alpha_{3}$：
      • $\alpha_{1}^{T}\alpha_{3}=1\times0 + 0\times1+1\times(-1)+1\times1 = 0$。
    • 计算$\alpha_{2}^{T}\alpha_{3}$：
      • $\alpha_{2}^{T}\alpha_{3}=(-1)\times0+(-1)\times1+0\times(-1)+1\times1 = 0$。
    • 计算$\beta^{T}\alpha_{3}$：
      • $\beta^{T}\alpha_{3}=1\times0 + 1\times1+1\times(-1)+(-1)\times1=-1$。
    • 所以$k_{1}\times0 + k_{2}\times0 + k_{3}\times3=-1$，即$3k_{3}=-1$。
  4. 解上述方程组$\begin{cases}3k_{1}=1\\3k_{2}=-3\\3k_{3}=-1\end{cases}$：
    • 由$3k_{1}=1$，解得$k_{1}=\frac{1}{3}$。
    • 由$3k_{2}=-3$，解得$k_{2}=-1$。
    • 由$3k_{3}=-1$，解得$k_{3}=-\frac{1}{3}$。
  5. 最后计算$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}$：
    • $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+(-1)^{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$
    • 根据幂运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，$\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$，$(-1)^{2}=1$，$\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$。
    • 所以$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}=\frac{1}{9}+1+\frac{1}{9}=\frac{1 + 9+1}{9}=\frac{11}{9}$。