题目
6、设X_(1)sim N(1,2)，X_(2)sim N(0,3)，X_(3)sim N(2,1)，且X_(1),X_(2),X_(3)独立，则P(0le 2X_(1)+3X_(2)-X_(3)le 6)=_。
6、设$X_{1}\sim N(1,2)$，$X_{2}\sim N(0,3)$，$X_{3}\sim N(2,1)$，且$X_{1},X_{2},X_{3}$独立，则
$P(0\le 2X_{1}+3X_{2}-X_{3}\le 6)=\_$。
题目解答
答案
设 $ Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3 $，则 $ Y $ 服从正态分布。
计算均值：
\[
E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0
\]
计算方差：
\[
D(Y) = 4D(X_1) + 9D(X_2) + D(X_3) = 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 = 36
\]
故 $ Y \sim N(0, 36) $。
标准化得 $ Z = \frac{Y}{6} \sim N(0, 1) $，求
\[
P(0 \le Y \le 6) = P(0 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.8413 - 0.5 = 0.3413
\]
答案：$\boxed{0.3413}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的线性组合性质、独立随机变量的期望与方差计算，以及标准正态分布的概率计算。
解题核心思路：
- 确定线性组合的分布：根据正态分布的性质，独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，需计算其均值和方差。
- 标准化处理：将求解的概率转化为标准正态分布的概率，利用标准正态分布函数表计算结果。
破题关键点：
- 正确计算线性组合的均值：利用期望的线性性质，逐项计算。
- 正确计算线性组合的方差：注意系数平方与方差的对应关系，且独立变量的方差可直接相加。
- 标准化转换与查表：将区间端点标准化后，通过标准正态分布函数值求差值得到最终概率。
设 $Y = 2X_1 + 3X_2 - X_3$，则 $Y$ 服从正态分布。
计算均值
根据期望的线性性质：
$E(Y) = 2E(X_1) + 3E(X_2) - E(X_3) = 2 \times 1 + 3 \times 0 - 2 = 0$
计算方差
由于 $X_1, X_2, X_3$ 独立，方差满足：
$D(Y) = (2)^2 D(X_1) + (3)^2 D(X_2) + (-1)^2 D(X_3) = 4 \times 2 + 9 \times 3 + 1 \times 1 = 36$
因此，$Y \sim N(0, 36)$，标准差为 $\sqrt{36} = 6$。
标准化与概率计算
将 $Y$ 标准化为 $Z = \frac{Y - 0}{6} \sim N(0, 1)$，则：
$P(0 \le Y \le 6) = P\left(0 \le \frac{Y}{6} \le 1\right) = P(0 \le Z \le 1)$
查标准正态分布表得：
$\Phi(1) \approx 0.8413, \quad \Phi(0) = 0.5$
因此：
$P(0 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413$