14.已知实验数据如下:-|||-xi 19 25 31 38 44-|||-yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8-|||-用最小二乘法求形如 =a+b(x)^2 的经验公式,并计算均方误差.

步骤 1：数据准备
给定数据点为：(19, 19.0), (25, 32.3), (31, 49.0), (38, 73.3), (44, 97.8)。我们需要找到形如 $y=a+b{x}^{2}$ 的经验公式，其中 $a$ 和 $b$ 是待定系数。

步骤 2：构造方程组
根据最小二乘法，我们需要最小化误差平方和，即最小化 $\sum_{i=1}^{n}(y_i-(a+b{x_i}^{2}))^2$。为此，我们首先计算 $x_i^2$ 和 $y_i$ 的值，然后构造方程组。

步骤 3：计算 $x_i^2$ 和 $y_i$
计算每个 $x_i^2$ 的值：$19^2=361$, $25^2=625$, $31^2=961$, $38^2=1444$, $44^2=1936$。
对应的 $y_i$ 值为：19.0, 32.3, 49.0, 73.3, 97.8。

步骤 4：构造方程组
根据最小二乘法，我们需要解方程组：
$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = 5327$
$\sum_{i=1}^{n}y_i = 271.4$
$\sum_{i=1}^{n}x_i^4 = 6323191$
$\sum_{i=1}^{n}x_i^2y_i = 159887.8$
$\sum_{i=1}^{n}y_i^2 = 19577.74$
$n=5$

步骤 5：解方程组
根据最小二乘法，我们有：
$a=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^4\sum_{i=1}^{n}y_i-\sum_{i=1}^{n}x_i^2y_i\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n\sum_{i=1}^{n}x_i^4-(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^2}$
$b=\frac{n\sum_{i=1}^{n}x_i^2y_i-\sum_{i=1}^{n}x_i^2\sum_{i=1}^{n}y_i}{n\sum_{i=1}^{n}x_i^4-(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^2}$

代入计算得：
$a=1.01$
$b=0.05$

步骤 6：计算均方误差
均方误差 $MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-(a+b{x_i}^{2}))^2$
代入计算得：
$MSE=0.0001$