概率论与数理统计 计算题（要计算步骤,无步骤扣分）1第一盒中有4个红球6个白球,第二个盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中随机地取一个球,求取到红球的概率.（8分）2某厂产品70％不需要调试即可出厂,另30％需经过调试,调试后有80％能出厂,（1）求该厂产品能出厂的概率（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率（8分）3 一办公室内有5台机器,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率未0.6,计算机是否能被使用相互独立,问同一时刻：（1）最多有4台计算机被使用的概率是多少?（2）至少有1台计算机被使用的概率是多少?4 设随机变量X 的分布函数是 求 .5 设随机变量 ,求(1) （2）确定C,使得 6 二维连续型随机变量 的联合密度函数为：求：7 设 的联合密度函数如下,求常数C,并讨论X与Y是否相互独立?8 设随机变量（X,Y）的联合密度如下,求E(X),E(Y),E(XY+1).9设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下,试求协方差Cov(X,Y)和相关系数 .（12分）10设 和 都是参数 的无偏估计.设 ,,为正常数,（1）当 ,满足什么样的条件时,是 的无偏估计?（2）若 和 互不相关,且具有相同的有效性,则 ,取什么值时,的方差最小?（12分）

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，即通过划分互斥的事件，计算目标事件的总概率。

解题思路：

1. 确定划分的事件：随机选择盒子（两个互斥事件）。
2. 计算各划分事件的概率：选择每个盒子的概率均为$\frac{1}{2}$。
3. 计算各划分事件下取红球的条件概率：分别计算两个盒子中红球的概率。
4. 加权求和：将各划分事件的概率与对应条件概率相乘后相加，得到最终结果。

第（1）题

划分事件

设事件$A_1$为“选择第一盒”，事件$A_2$为“选择第二盒”，则$P(A_1)=P(A_2)=\frac{1}{2}$。

计算条件概率

• 第一盒中红球的概率：$P(\text{红球}|A_1)=\frac{4}{4+6}=\frac{2}{5}$。
• 第二盒中红球的概率：$P(\text{红球}|A_2)=\frac{5}{5+5}=\frac{1}{2}$。

应用全概率公式

取到红球的总概率为：
$P(\text{红球}) = P(A_1)P(\text{红球}|A_1) + P(A_2)P(\text{红球}|A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{20}.$

第（2）题

划分事件

设事件$B_1$为“产品未经调试”，事件$B_2$为“产品经过调试”，则：

• $P(B_1)=0.7$，$P(B_2)=0.3$。

计算条件概率

• 未经调试直接出厂的概率：$P(\text{出厂}|B_1)=1$。
• 经过调试后出厂的概率：$P(\text{出厂}|B_2)=0.8$。

（1）总出厂概率

$P(\text{出厂}) = P(B_1) \cdot 1 + P(B_2) \cdot 0.8 = 0.7 + 0.3 \cdot 0.8 = 0.94.$

（2）未经调试的条件概率

根据贝叶斯定理：
$P(B_1|\text{出厂}) = \frac{P(B_1)P(\text{出厂}|B_1)}{P(\text{出厂})} = \frac{0.7 \cdot 1}{0.94} = \frac{35}{47}.$