设函数(x)=xcdot tan xcdot (e)^x,则(x)=xcdot tan xcdot (e)^x是( ). (A)偶函数 (B)无界函数 (C)周期函数 (D)单调函数

考查要点：本题主要考查函数的基本性质，包括奇偶性、有界性、周期性和单调性。需要结合各部分函数的特性进行综合分析。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将$f(x)$拆解为$x$、$\tan x$、$e^{\sin x}$三个部分，分别分析其性质。
2. 逐项判断选项：
   • 偶函数：通过计算$f(-x)$与$f(x)$的关系判断。
   • 无界函数：分析函数在定义域内是否存在无限增长的趋势。
   • 周期函数：判断$x$与周期函数的乘积是否保持周期性。
   • 单调函数：结合各部分函数的单调性，分析整体是否单调。

破题关键点：

• $\tan x$的无界性：在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$附近，$\tan x$趋向于无穷大。
• $x$的线性增长：与$\tan x$的乘积导致整体函数在奇点附近无界。
• $e^{\sin x}$的有界性：虽然波动，但不会改变整体函数的无界趋势。

选项分析

(A) 偶函数

偶函数需满足$f(-x) = f(x)$。计算得：
$f(-x) = (-x) \cdot \tan(-x) \cdot e^{\sin(-x)} = x \cdot \tan x \cdot e^{-\sin x} \neq f(x)$
因此不是偶函数。

(B) 无界函数

当$x$趋近于$\frac{\pi}{2} + k\pi$时，$\tan x$趋向于$\pm\infty$，而$x$本身线性增长，$e^{\sin x}$有界（范围为$[e^{-1}, e]$）。此时：
$|x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}| \approx |x \cdot \tan x| \cdot e \rightarrow +\infty$
因此函数无界。

(C) 周期函数

$\tan x$和$e^{\sin x}$均为周期函数，但$x$是线性增长项，破坏了周期性。例如，$f(x + T) = (x + T)\tan(x + T)e^{\sin(x + T)}$无法与$f(x)$相等，因此不是周期函数。

(D) 单调函数

$\tan x$和$e^{\sin x}$均存在周期性波动，且$x$的线性增长与$\tan x$的周期性增减叠加，导致$f(x)$整体不单调。