题目
在总体 X sim N(12,4) 中抽取容量为 5 的简单随机样本 X_1, X_2, X_3, X_4, X_5，则 P[max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15] 为()A. 1 - Phi(1.5)B. [1 - Phi(1.5)]^5C. 1 - [Phi(1.5)]^5D. [Phi(1.5)]^5
在总体 $X \sim N(12,4)$ 中抽取容量为 5 的简单随机样本 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$，则 $P[\max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5) > 15]$ 为()
A. $1 - \Phi(1.5)$
B. $[1 - \Phi(1.5)]^5$
C. $1 - [\Phi(1.5)]^5$
D. $[\Phi(1.5)]^5$
题目解答
答案
C. $1 - [\Phi(1.5)]^5$
解析
步骤 1：定义随机变量 $Y$
设 $Y = \max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)$，即 $Y$ 是样本中最大值的随机变量。
步骤 2：求 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以表示为 $X_i$ 的分布函数 $F_X(x)$ 的五次方，因为 $Y$ 是五个独立同分布随机变量中的最大值。即： \[ F_Y(y) = [F_X(y)]^5 \]
步骤 3：求 $X$ 的分布函数
$X \sim N(12,4)$，即 $X$ 服从均值为 12，方差为 4 的正态分布。$X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 可以表示为： \[ F_X(x) = \Phi\left(\frac{x - 12}{2}\right) \] 其中，$\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：代入 $y = 15$
将 $y = 15$ 代入 $F_Y(y)$ 中，得到： \[ F_Y(15) = \left[ \Phi\left(\frac{15 - 12}{2}\right) \right]^5 = \left[ \Phi(1.5) \right]^5 \]
步骤 5：求所求概率
所求概率为 $P(Y > 15)$，即 $Y$ 大于 15 的概率，可以表示为： \[ P(Y > 15) = 1 - F_Y(15) = 1 - \left[ \Phi(1.5) \right]^5 \]
设 $Y = \max(X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)$，即 $Y$ 是样本中最大值的随机变量。
步骤 2：求 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以表示为 $X_i$ 的分布函数 $F_X(x)$ 的五次方，因为 $Y$ 是五个独立同分布随机变量中的最大值。即： \[ F_Y(y) = [F_X(y)]^5 \]
步骤 3：求 $X$ 的分布函数
$X \sim N(12,4)$，即 $X$ 服从均值为 12，方差为 4 的正态分布。$X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 可以表示为： \[ F_X(x) = \Phi\left(\frac{x - 12}{2}\right) \] 其中，$\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：代入 $y = 15$
将 $y = 15$ 代入 $F_Y(y)$ 中，得到： \[ F_Y(15) = \left[ \Phi\left(\frac{15 - 12}{2}\right) \right]^5 = \left[ \Phi(1.5) \right]^5 \]
步骤 5：求所求概率
所求概率为 $P(Y > 15)$，即 $Y$ 大于 15 的概率，可以表示为： \[ P(Y > 15) = 1 - F_Y(15) = 1 - \left[ \Phi(1.5) \right]^5 \]