题目
(4-8) 图示正立方体的边长 =0.2m, 在顶点A沿对角线AB作用一力F,其大小以对角线AB的长度-|||-表示,每一毫米代表10N。向O点简化此力。-|||-z-|||-a B-|||-E a-|||-A] o a y-|||-题 4-8 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力F的大小
根据题目描述，力F的大小以对角线AB的长度表示，每一毫米代表10N。首先，我们需要计算对角线AB的长度。由于这是一个正立方体，边长为a=0.2m，对角线AB的长度可以通过空间对角线公式计算，即$AB = a\sqrt{3}$。因此，$AB = 0.2\sqrt{3}m$。将长度转换为毫米，$AB = 0.2\sqrt{3} \times 1000mm = 200\sqrt{3}mm$。根据题目描述，每一毫米代表10N，所以力F的大小为$F = 200\sqrt{3} \times 10N = 2000\sqrt{3}N$。
步骤 2：确定力F的方向
力F沿对角线AB作用，对角线AB的方向可以表示为单位向量$\frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k)$。因此，力F可以表示为$F = 2000\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k) = 2000(i+j+k)$N。
步骤 3：计算力F对O点的力矩
力F对O点的力矩可以通过叉乘计算，即${M}_{O} = \vec{r} \times \vec{F}$，其中$\vec{r}$是从O点到A点的位矢，$\vec{F}$是力F。$\vec{r} = -0.2(i+j+k)$m，$\vec{F} = 2000(i+j+k)$N。因此，${M}_{O} = (-0.2(i+j+k)) \times 2000(i+j+k) = -400(i \times i + j \times j + k \times k + i \times j + j \times k + k \times i)$。由于$i \times i = j \times j = k \times k = 0$，$i \times j = k$，$j \times k = i$，$k \times i = j$，所以${M}_{O} = -400(0 + 0 + 0 + k - i + j) = 400(-i + j + k)$N·m。
根据题目描述，力F的大小以对角线AB的长度表示，每一毫米代表10N。首先，我们需要计算对角线AB的长度。由于这是一个正立方体，边长为a=0.2m，对角线AB的长度可以通过空间对角线公式计算，即$AB = a\sqrt{3}$。因此，$AB = 0.2\sqrt{3}m$。将长度转换为毫米，$AB = 0.2\sqrt{3} \times 1000mm = 200\sqrt{3}mm$。根据题目描述，每一毫米代表10N，所以力F的大小为$F = 200\sqrt{3} \times 10N = 2000\sqrt{3}N$。
步骤 2：确定力F的方向
力F沿对角线AB作用，对角线AB的方向可以表示为单位向量$\frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k)$。因此，力F可以表示为$F = 2000\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}(i+j+k) = 2000(i+j+k)$N。
步骤 3：计算力F对O点的力矩
力F对O点的力矩可以通过叉乘计算，即${M}_{O} = \vec{r} \times \vec{F}$，其中$\vec{r}$是从O点到A点的位矢，$\vec{F}$是力F。$\vec{r} = -0.2(i+j+k)$m，$\vec{F} = 2000(i+j+k)$N。因此，${M}_{O} = (-0.2(i+j+k)) \times 2000(i+j+k) = -400(i \times i + j \times j + k \times k + i \times j + j \times k + k \times i)$。由于$i \times i = j \times j = k \times k = 0$，$i \times j = k$，$j \times k = i$，$k \times i = j$，所以${M}_{O} = -400(0 + 0 + 0 + k - i + j) = 400(-i + j + k)$N·m。