已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布。现在从该厂的产品中随机地抽取64只 。试求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率。假定这些晶体管的寿命是相互独立的。

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何将指数分布的和转化为正态分布进行概率计算。

解题核心思路：

1. 指数分布的性质：已知单只晶体管寿命服从均值为100小时的指数分布，其参数$\lambda = \frac{1}{100}$，方差为$\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = 10000$。
2. 中心极限定理：当样本量$n=64$较大时，64只晶体管寿命总和$X$近似服从正态分布$N(n\mu, n\sigma^2)$，即$N(6400, 800^2)$。
3. 标准化与概率计算：将$X > 7000$标准化为标准正态变量$Z$，通过查标准正态分布表求解概率。

破题关键点：

• 正确计算总和的期望与方差：$\mu_X = n\mu = 6400$，$\sigma_X = \sqrt{n}\sigma = 800$。
• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}$，将非标准正态变量转化为标准正态变量。

步骤1：确定指数分布参数

单只晶体管寿命$X_i$服从指数分布，均值$\mu = 100$小时，参数$\lambda = \frac{1}{\mu} = 0.01$，方差$\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = 10000$，标准差$\sigma = 100$。

步骤2：应用中心极限定理

64只晶体管寿命总和$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{64}$近似服从正态分布：
$X \sim N(n\mu, n\sigma^2) = N(6400, 800^2)$

步骤3：标准化并计算概率

求$P(X > 7000)$：
$P(X > 7000) = 1 - P\left(\frac{X - 6400}{800} \leq \frac{7000 - 6400}{800}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{600}{800}\right) = 1 - \Phi(0.75)$
查标准正态分布表得$\Phi(0.75) \approx 0.7734$，因此：
$P(X > 7000) = 1 - 0.7734 = 0.2266$