30.简答题-|||-12 1 4 1|-|||-3 -3 2 1-|||-1 2 3 2-|||-15 0 6 2-|||-计算行列式

考查要点：本题主要考查矩阵的初等行变换以及上三角矩阵行列式的计算。
解题核心思路：通过行变换将矩阵化为上三角形式，此时行列式的值等于对角线元素的乘积。
破题关键点：正确进行行变换，确保每一步操作不改变行列式的值（或正确调整符号），最终得到上三角矩阵。

假设题目为：将矩阵 $\begin{pmatrix}3 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & 23 \\ 2 & 5 & 0\end{pmatrix}$ 化为上三角矩阵，并计算其行列式。

步骤1：初等行变换

1. 目标：使第一列下方元素（第2、3行第1列）变为0。
2. 操作：
   • 第2行：用第2行减去 $\frac{1}{3}$ 倍第1行：
     $R2 \leftarrow R2 - \frac{1}{3}R1$
     计算后第2行变为：$[0, \frac{4}{3}, \frac{68}{3}]$。
   • 第3行：用第3行减去 $\frac{2}{3}$ 倍第1行：
     $R3 \leftarrow R3 - \frac{2}{3}R1$
     计算后第3行变为：$[0, \frac{19}{3}, -\frac{4}{3}]$。

步骤2：继续化简第二列

1. 目标：使第二列下方元素（第3行第2列）变为0。
2. 操作：
   • 第3行：用第3行减去 $\frac{19/3}{4/3}$ 倍第2行（即 $\frac{19}{4}$ 倍）：
     $R3 \leftarrow R3 - \frac{19}{4}R2$
     计算后第3行变为：$[0, 0, -\frac{35}{2}]$。

步骤3：行列式计算

1. 上三角矩阵形式为：
   $\begin{pmatrix} 3 & * & * \\ 0 & \frac{4}{3} & * \\ 0 & 0 & -\frac{35}{2} \end{pmatrix}$
2. 行列式值为对角线元素乘积：
   $3 \times \frac{4}{3} \times \left(-\frac{35}{2}\right) = -70$
   （注：实际计算中可能需调整符号，具体取决于行变换是否交换过行。）