3.lim_(ntoinfty)(1+frac(1)/(2)+(1)/(4)+...+(1)/(2^n))(1+(1)/(3)+(1)/(9)+...+(1)/(3^n))=_.

考查要点：本题主要考查等比数列求和公式的应用以及极限的计算。关键在于识别分子和分母均为等比数列的前$(n+1)$项和，并利用公式化简后求极限。

解题思路：

1. 识别等比数列：分子是首项为$1$、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；分母是首项为$1$、公比为$\frac{1}{3}$的等比数列。
2. 应用求和公式：分别用等比数列求和公式计算分子和分母的和。
3. 求极限：当$n \to \infty$时，公比绝对值小于$1$，因此高次项趋近于$0$，代入化简后求比值。

分子部分

分子为等比数列$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n}}$，首项$a_1 = 1$，公比$r = \frac{1}{2}$，共有$n+1$项。
根据等比数列求和公式：
$S_{\text{分子}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right).$

分母部分

分母为等比数列$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{3^{n}}$，首项$a_1 = 1$，公比$r = \frac{1}{3}$，共有$n+1$项。
根据等比数列求和公式：
$S_{\text{分母}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right).$

求极限

将分子和分母的和代入原式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right)}{\frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)}.$
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{2^{n+1}} \to 0$，$\frac{1}{3^{n+1}} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 1}{\frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}.$