题目
8. (5.0分) 设(X_(1),X_(2),X_(3),X_(4))是总体X的简单随机样本，X~N(0,4)，F=C(X_(1)^2)/(X_(2)^2+X_{3)^2+X_(4)^2}服从F分布，则常数C=()。A. 2B. 3C. 4D. 1
8. (5.0分) 设$(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})$是总体X的简单随机样本，X~N(0,4)，$F=C\frac{X_{1}^{2}}{X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}$服从F分布，则常数C=()。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
题目解答
答案
B. 3
解析
步骤 1：标准化随机变量
由于 $X_i \sim N(0,4)$，我们首先将 $X_i$ 标准化为 $Z_i = \frac{X_i}{2}$，则 $Z_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：将原表达式转换为标准化变量
将 $X_i$ 替换为 $Z_i$，原表达式变为：
\[ F = C \frac{X_1^2}{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2} = C \frac{(2Z_1)^2}{(2Z_2)^2 + (2Z_3)^2 + (2Z_4)^2} = C \frac{4Z_1^2}{4(Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2)} = C \frac{Z_1^2}{Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2} \]
步骤 3：确定F分布的参数
根据F分布的定义，当 $U \sim \chi^2(1)$，$V \sim \chi^2(3)$ 时，$\frac{U/1}{V/3} \sim F(1,3)$。因此，$Z_1^2 \sim \chi^2(1)$，$Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 \sim \chi^2(3)$，所以
\[ \frac{Z_1^2}{(Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2)/3} \sim F(1,3) \]
步骤 4：确定常数C
为了使 $F$ 服从 $F(1,3)$ 分布，我们需要 $C = 3$。
由于 $X_i \sim N(0,4)$，我们首先将 $X_i$ 标准化为 $Z_i = \frac{X_i}{2}$，则 $Z_i \sim N(0,1)$。
步骤 2：将原表达式转换为标准化变量
将 $X_i$ 替换为 $Z_i$，原表达式变为：
\[ F = C \frac{X_1^2}{X_2^2 + X_3^2 + X_4^2} = C \frac{(2Z_1)^2}{(2Z_2)^2 + (2Z_3)^2 + (2Z_4)^2} = C \frac{4Z_1^2}{4(Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2)} = C \frac{Z_1^2}{Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2} \]
步骤 3：确定F分布的参数
根据F分布的定义，当 $U \sim \chi^2(1)$，$V \sim \chi^2(3)$ 时，$\frac{U/1}{V/3} \sim F(1,3)$。因此，$Z_1^2 \sim \chi^2(1)$，$Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2 \sim \chi^2(3)$，所以
\[ \frac{Z_1^2}{(Z_2^2 + Z_3^2 + Z_4^2)/3} \sim F(1,3) \]
步骤 4：确定常数C
为了使 $F$ 服从 $F(1,3)$ 分布，我们需要 $C = 3$。