题目
23、某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8，试求这200名员工至少有150人考试通过的概率约(sqrt(32)=5.66，Phi(1.77)=0.9616).
23、某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8，试求这200名员工至少有150人考试通过的概率约$(\sqrt{32}=5.66$，$\Phi(1.77)=0.9616)$.
题目解答
答案
设 $X_i$ 表示第 $i$ 名员工是否通过考试（1为通过，0为未通过），则 $X_i$ 服从参数为 $p=0.8$ 的伯努利分布。总通过人数 $S = \sum_{i=1}^{200} X_i$ 服从二项分布 $B(200, 0.8)$，期望 $E(S) = 160$，方差 $\text{Var}(S) = 32$。
由中心极限定理，$S$ 近似服从正态分布 $N(160, 32)$。
标准化得：
\[ P(S \geq 150) = P\left(Z \geq \frac{150 - 160}{\sqrt{32}}\right) = P(Z \geq -1.77) \]
利用对称性：
\[ P(Z \geq -1.77) = \Phi(1.77) \approx 0.9616 \]
**答案：** $\boxed{0.9616}$
解析
本题主要考察二项分布的正态近似（中心极限定理）在概率计算中的应用，具体步骤如下：
步骤1：模型建立
每名员工考试通过记为$X_i=1$（概率$p=0.8$），未通过记为$X_i=0$（概率$1-p=0.2$），则$X_i$服从伯努利分布$B(1,0.8)$。总通过人数$S=\sum_{i=1}^{200}X_i$服从二项分布$B(n=200,p=0.8)$。
步骤2：计算二项分布的期望和方差
二项分布的期望和方差公式为：
$E(S)=np=200\times0.8=160$
$\text{Var}(S)=np(1-p)=200\times0.8\times0.2=32$
步骤3：中心极限定理近似
因$n=200$较大，由中心极限定理，$S$近似服从正态分布$N(\mu=160,\sigma^2=32)$，即$S\sim N(160,32)$。
步骤4：标准化与概率计算
需求$P(S\geq150)$，标准化得：
$Z=\frac{S-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
$P(S\geq150)=P\left(Z\geq\frac{150-160}{\sqrt{32}}\right)=P\left(Z\geq\frac{-10}{5.66}\right)\approx P(Z\geq-1.77)$
由正态分布对称性：$P(Z\geq-a)=P(Z\leq a)=\Phi(a)$，故：
$P(Z\geq-1.77)=\Phi(1.77)=0.9616$