题目
8.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 N(4.55，0.108²)，现在测定了9炉铁水，其平碳量为4.484。如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(a=0.05)?
8.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 N(4.55，0.108²)，现在测定了9炉铁水，其平碳量为4.484。如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55(a=0.05)?
题目解答
答案
为了确定现在生产的铁水平均含碳量是否为4.55，我们需要进行一个单样本Z检验。以下是解题过程：
1. **定义假设：**
- 零假设 $ H_0 $：$\mu = 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量为4.55）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu \neq 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量不为4.55）
2. **确定显著性水平：**
- $\alpha = 0.05$
3. **计算Z统计量：**
Z统计量的公式为：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中：
- $\bar{X} = 4.484$（样本均值）
- $\mu_0 = 4.55$（假设的总体均值）
- $\sigma = 0.108$（总体标准差）
- $n = 9$（样本大小）
代入数值，我们得到：
\[
Z = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.8333
\]
4. **确定临界值：**
由于这是双侧检验，我们使用Z分布表找到$\alpha/2 = 0.025$的临界值。临界值为$\pm 1.96$。
5. **比较Z统计量与临界值：**
Z统计量$-1.8333$位于临界值$-1.96$和$1.96$之间。因此，我们 fail to reject 零假设。
6. **结论：**
由于Z统计量没有落在拒绝域内，我们没有足够的证据在0.05的显著性水平下拒绝零假设。因此，我们可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
最终答案是：
\[
\boxed{\text{可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55}}
\]
解析
步骤 1：定义假设
- 零假设 $ H_0 $：$\mu = 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量为4.55）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu \neq 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量不为4.55）
步骤 2：确定显著性水平
- $\alpha = 0.05$
步骤 3：计算Z统计量
Z统计量的公式为：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中：
- $\bar{X} = 4.484$（样本均值）
- $\mu_0 = 4.55$（假设的总体均值）
- $\sigma = 0.108$（总体标准差）
- $n = 9$（样本大小）
代入数值，我们得到：
\[ Z = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.8333 \]
步骤 4：确定临界值
由于这是双侧检验，我们使用Z分布表找到$\alpha/2 = 0.025$的临界值。临界值为$\pm 1.96$。
步骤 5：比较Z统计量与临界值
Z统计量$-1.8333$位于临界值$-1.96$和$1.96$之间。因此，我们 fail to reject 零假设。
步骤 6：结论
由于Z统计量没有落在拒绝域内，我们没有足够的证据在0.05的显著性水平下拒绝零假设。因此，我们可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
- 零假设 $ H_0 $：$\mu = 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量为4.55）
- 备择假设 $ H_1 $：$\mu \neq 4.55$（现在生产的铁水平均含碳量不为4.55）
步骤 2：确定显著性水平
- $\alpha = 0.05$
步骤 3：计算Z统计量
Z统计量的公式为：
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
其中：
- $\bar{X} = 4.484$（样本均值）
- $\mu_0 = 4.55$（假设的总体均值）
- $\sigma = 0.108$（总体标准差）
- $n = 9$（样本大小）
代入数值，我们得到：
\[ Z = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / 3} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.8333 \]
步骤 4：确定临界值
由于这是双侧检验，我们使用Z分布表找到$\alpha/2 = 0.025$的临界值。临界值为$\pm 1.96$。
步骤 5：比较Z统计量与临界值
Z统计量$-1.8333$位于临界值$-1.96$和$1.96$之间。因此，我们 fail to reject 零假设。
步骤 6：结论
由于Z统计量没有落在拒绝域内，我们没有足够的证据在0.05的显著性水平下拒绝零假设。因此，我们可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。