题目
18. (5.0分) 8 设(X_(1),X_(2),...,X_(n))是来自标准正态总体X的简单随机样本，overline(X)为样本均值，S^2为样本方差，则overline(X)服从N(0,(1)/(n))分布.A. 对B. 错
18. (5.0分) 8 设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是来自标准正态总体X的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，$S^{2}$为样本方差，则$\overline{X}$服从$N(0,\frac{1}{n})$分布.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：样本均值的期望值
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 0 = 0$，因为每个 $X_i$ 都来自标准正态分布，其期望值为0。
步骤 2：样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差为 $\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 1 = \frac{1}{n}$，因为每个 $X_i$ 的方差为1。
步骤 3：样本均值的分布
由于 $X_i$ 是来自标准正态分布的独立同分布随机变量，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布。因此，$\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。
样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为 $E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 0 = 0$，因为每个 $X_i$ 都来自标准正态分布，其期望值为0。
步骤 2：样本均值的方差
样本均值 $\overline{X}$ 的方差为 $\text{Var}(\overline{X}) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 1 = \frac{1}{n}$，因为每个 $X_i$ 的方差为1。
步骤 3：样本均值的分布
由于 $X_i$ 是来自标准正态分布的独立同分布随机变量，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布。因此，$\overline{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$。