题目
有一很长的载流导体直圆管,内半径为a,外半径为b,电流为I,电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为r,如图所示。求(1)r<a;(2)a<r<b;(3)r>b等各处的磁感应强度。--------------|||-一 J ,-|||--k----|||-a ,-|||-b 、 ,-|||-,-|||-、--------------|||-一 J ,-|||--k----|||-a ,-|||-b 、 ,-|||-,-|||-、--------------|||-一 J ,-|||--k----|||-a ,-|||-b 、 ,-|||-,-|||-、--------------|||-一 J ,-|||--k----|||-a ,-|||-b 、 ,-|||-,-|||-、
有一很长的载流导体直圆管,内半径为a,外半径为b,电流为I,电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为r,如图所示。求(1)r<a;(2)a<r<b;(3)r>b等各处的磁感应强度。
题目解答
答案
解: 磁场分布有轴对称性,在垂直于轴的平面上以轴为中心作半径为r的闭合圆周L,根据安培环路定理
。得:
。(1) r < a时,
,∴
(2) a < r < b时,
,∴
。
(3) r > b时,
,∴
解析
步骤 1：确定磁场分布的对称性
由于电流沿轴线方向流动，且均匀分布在管壁的横截面上，磁场分布具有轴对称性。因此，可以选取垂直于轴线的平面，并在该平面上以轴为中心作半径为r的闭合圆周L，来应用安培环路定理。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，闭合圆周L上的磁场强度B与圆周的长度2πr的乘积等于穿过该圆周的电流的总和乘以μ₀，即${\int }_{l}^{B}\cdot d\overrightarrow {l}=B2\pi r={\mu }_{0}\sum _{i}$。因此，可以得到$B=\dfrac {{\mu }_{0}}{2\pi r}\sum _{i}$。
步骤 3：计算不同区域的磁感应强度
(1) 当r < a时，闭合圆周L内没有电流通过，因此$\sum _{i}=0$，所以B=0。
(2) 当a < r < b时，闭合圆周L内有电流通过，电流的总和为$\sum _{i}=\dfrac {{r}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}I$，因此$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\dfrac {{r}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$。
(3) 当r > b时，闭合圆周L内有全部电流通过，电流的总和为$\sum _{i}=I$，因此$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$。
由于电流沿轴线方向流动，且均匀分布在管壁的横截面上，磁场分布具有轴对称性。因此，可以选取垂直于轴线的平面，并在该平面上以轴为中心作半径为r的闭合圆周L，来应用安培环路定理。
步骤 2：应用安培环路定理
根据安培环路定理，闭合圆周L上的磁场强度B与圆周的长度2πr的乘积等于穿过该圆周的电流的总和乘以μ₀，即${\int }_{l}^{B}\cdot d\overrightarrow {l}=B2\pi r={\mu }_{0}\sum _{i}$。因此，可以得到$B=\dfrac {{\mu }_{0}}{2\pi r}\sum _{i}$。
步骤 3：计算不同区域的磁感应强度
(1) 当r < a时，闭合圆周L内没有电流通过，因此$\sum _{i}=0$，所以B=0。
(2) 当a < r < b时，闭合圆周L内有电流通过，电流的总和为$\sum _{i}=\dfrac {{r}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}I$，因此$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\dfrac {{r}^{2}-{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$。
(3) 当r > b时，闭合圆周L内有全部电流通过，电流的总和为$\sum _{i}=I$，因此$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$。