设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X sim N(0,1)，Y sim N(1,1)，则(）.A. PX + Y leq 0 = (1)/(2)B. PX + Y leq 1 = (1)/(2)C. PX - Y leq 0 = (1)/(2)D. PX - Y leq 1 = (1)/(2)

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布及其概率计算，重点在于理解正态分布的性质及对称点的应用。

解题核心思路：

1. 确定线性组合的分布：利用独立正态变量的和与差的均值和方差公式，确定$X+Y$和$X-Y$的分布。
2. 判断对称点：正态分布的对称点为其均值，当所求概率对应的位置等于均值时，概率为$\frac{1}{2}$。
3. 排除干扰项：通过比较选项中的临界值与分布的均值，判断是否满足对称点条件。

破题关键点：

• 独立正态变量的线性组合仍服从正态分布，均值为各变量均值的线性组合，方差为各变量方差的线性组合（系数平方和）。
• 正态分布的对称性：若所求概率对应的位置等于均值，则概率为$\frac{1}{2}$；否则需进一步计算。

步骤1：确定$X+Y$和$X-Y$的分布

• $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(1,1)$，且$X$与$Y$独立。

• $X+Y$的均值：$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 0 + 1 = 1$
  方差：$\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$
  因此，$X+Y \sim N(1, 2)$。

• $X-Y$的均值：$\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 0 - 1 = -1$
  方差：$\sigma_{X-Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$
  因此，$X-Y \sim N(-1, 2)$。

步骤2：分析各选项

选项A：$P\{X + Y \leq 0\} = \frac{1}{2}$

• $X+Y \sim N(1, 2)$，均值为$1$，而$0 < 1$，不满足对称点条件。
• 标准化后：$P\left(Z \leq \frac{0 - 1}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq -0.707) \approx 0.24$，不等于$\frac{1}{2}$。

选项B：$P\{X + Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$

• $X+Y$的均值为$1$，所求位置$1$恰好是分布的对称点。
• 标准化后：$P\left(Z \leq \frac{1 - 1}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq 0) = \frac{1}{2}$，成立。

选项C：$P\{X - Y \leq 0\} = \frac{1}{2}$

• $X-Y \sim N(-1, 2)$，均值为$-1$，而$0 > -1$，不满足对称点条件。
• 标准化后：$P\left(Z \leq \frac{0 - (-1)}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq 0.707) \approx 0.69$，不等于$\frac{1}{2}$。

选项D：$P\{X - Y \leq 1\} = \frac{1}{2}$

• $X-Y$的均值为$-1$，所求位置$1$远大于均值。
• 标准化后：$P\left(Z \leq \frac{1 - (-1)}{\sqrt{2}}\right) = P(Z \leq 1.414) \approx 0.92$，不等于$\frac{1}{2}$。