题目
若A与B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,则A与B一定不独立。A. 对B. 错
若A与B互斥,且P(A)>0,P(B)>0,则A与B一定不独立。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
互斥事件与独立事件是概率论中的两个重要概念:
- 互斥事件:若事件$A$与$B$互斥,则$A \cap B = \emptyset$,即$P(A \cap B) = 0$。
- 独立事件:若事件$A$与$B$独立,则$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$。
关键矛盾点:
当$A$与$B$互斥且$P(A) > 0$、$P(B) > 0$时,根据互斥性,$P(A \cap B) = 0$;而根据独立性定义,若独立则$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) > 0$。两者矛盾,因此互斥且概率均大于0的事件一定不独立。
-
互斥事件的性质
由题意,$A$与$B$互斥,故$A \cap B = \emptyset$,因此:
$P(A \cap B) = 0.$ -
独立事件的定义
若$A$与$B$独立,则需满足:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$ -
矛盾分析
已知$P(A) > 0$且$P(B) > 0$,则:
$P(A) \cdot P(B) > 0.$
但根据互斥性,$P(A \cap B) = 0$,显然:
$0 \neq P(A) \cdot P(B).$
因此,$A$与$B$不可能同时满足互斥和独立。