题目
5,设总体 sim N(mu ,16) X1,X2,···,X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样-|||-本,S^2为其样本方差,且 ((S)^2gt a)=0.1 求a之值,
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 的分布与卡方分布有关。具体来说，对于正态分布总体 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 的分布为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$，其中 $n$ 是样本容量，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 2：将问题转化为卡方分布问题
根据题目，总体方差 $\sigma^2 = 16$，样本容量 $n = 10$。因此，$\frac{(10-1)S^2}{16} \sim \chi^2_{9}$。题目要求 $P(S^2 > a) = 0.1$，可以转化为 $P\left(\frac{9S^2}{16} > \frac{9a}{16}\right) = 0.1$，即 $P\left(\chi^2_{9} > \frac{9a}{16}\right) = 0.1$。
步骤 3：查找卡方分布表
查卡方分布表，找到 $\chi^2_{9}$ 分布的上0.1分位数，即 $\chi^2_{0.1,9}$。根据卡方分布表，$\chi^2_{0.1,9} \approx 14.684$。因此，$\frac{9a}{16} = 14.684$。
步骤 4：求解a
解方程 $\frac{9a}{16} = 14.684$，得到 $a = \frac{14.684 \times 16}{9} \approx 26.105$。
样本方差 $S^2$ 的分布与卡方分布有关。具体来说，对于正态分布总体 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2$ 的分布为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$，其中 $n$ 是样本容量，$\sigma^2$ 是总体方差。
步骤 2：将问题转化为卡方分布问题
根据题目，总体方差 $\sigma^2 = 16$，样本容量 $n = 10$。因此，$\frac{(10-1)S^2}{16} \sim \chi^2_{9}$。题目要求 $P(S^2 > a) = 0.1$，可以转化为 $P\left(\frac{9S^2}{16} > \frac{9a}{16}\right) = 0.1$，即 $P\left(\chi^2_{9} > \frac{9a}{16}\right) = 0.1$。
步骤 3：查找卡方分布表
查卡方分布表，找到 $\chi^2_{9}$ 分布的上0.1分位数，即 $\chi^2_{0.1,9}$。根据卡方分布表，$\chi^2_{0.1,9} \approx 14.684$。因此，$\frac{9a}{16} = 14.684$。
步骤 4：求解a
解方程 $\frac{9a}{16} = 14.684$，得到 $a = \frac{14.684 \times 16}{9} \approx 26.105$。