4.设x1,x2,···,Nn抽自正态总体N(μ,4)的简单样本,X是样本均值,问样本容量n-|||-应取多大,就能使-|||-(1) ((|overline {X)-mu |}^2leqslant 0.1 ;(2) |overline {X)-mu |leqslant 0.1} geqslant 0.95.

考查要点：

1. 方差与期望的关系：利用样本均值的方差公式求解样本容量。
2. 中心极限定理与正态分布分位数：通过标准化处理和查标准正态分布表确定样本容量。

解题思路：

1. 第一问：将期望条件转化为方差公式，直接求解不等式。
2. 第二问：利用中心极限定理将样本均值分布近似为正态分布，通过标准化和分位数求解不等式。

第（1）题

关键点：

• 样本均值 $\overline{X}$ 的期望为 $\mu$，因此 $E(|\overline{X} - \mu|^2) = D(\overline{X})$。
• 正态总体方差为 $4$，样本均值方差为 $\frac{4}{n}$。

步骤：

1. 根据题意，$E(|\overline{X} - \mu|^2) = D(\overline{X}) = \frac{4}{n}$。
2. 要求 $\frac{4}{n} \leq 0.1$，解得 $n \geq 40$。

第（2）题

关键点：

• 样本均值 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$，标准化后服从标准正态分布。
• 概率条件转化为标准正态分布的分位数问题。

步骤：

1. 标准化：$\frac{|\overline{X} - \mu|}{\sqrt{\frac{4}{n}}} \sim N(0,1)$。
2. 原概率条件等价于 $P\left(|Z| \leq \frac{0.1 \sqrt{n}}{2}\right) \geq 0.95$，其中 $Z \sim N(0,1)$。
3. 查标准正态分布表，$\frac{0.1 \sqrt{n}}{2} \geq 1.96$，解得 $\sqrt{n} \geq 39.2$，即 $n \geq 1537$。