题目
设随机变量 sim N(1,1) ,则 1leqslant Xleqslant 2 = __ .(附: Phi (1)=0.8413
题目解答
答案
解析
步骤 1：标准化随机变量
由于 $X\sim N(1,1)$，即 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $1$ 的正态分布，我们首先需要将 $X$ 标准化。标准化后的随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中 $\mu=1$，$\sigma=1$。因此，$Z=X-1$。
步骤 2：计算概率
我们需要计算 $P\{1\leqslant X\leqslant 2\}$，即 $X$ 在区间 $[1,2]$ 内的概率。根据步骤 1，我们有 $Z=X-1$，因此 $P\{1\leqslant X\leqslant 2\}=P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}$。由于 $Z$ 服从标准正态分布，我们可以使用标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 来计算这个概率，即 $P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\Phi(1)-\Phi(0)$。
步骤 3：使用给定的 $\Phi(1)$ 值
根据题目中给出的 $\Phi(1)=0.8413$，以及标准正态分布函数在 $z=0$ 处的值 $\Phi(0)=0.5$，我们可以计算出 $P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\Phi(1)-\Phi(0)=0.8413-0.5=0.3413$。
由于 $X\sim N(1,1)$，即 $X$ 服从均值为 $1$，方差为 $1$ 的正态分布，我们首先需要将 $X$ 标准化。标准化后的随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，其中 $\mu=1$，$\sigma=1$。因此，$Z=X-1$。
步骤 2：计算概率
我们需要计算 $P\{1\leqslant X\leqslant 2\}$，即 $X$ 在区间 $[1,2]$ 内的概率。根据步骤 1，我们有 $Z=X-1$，因此 $P\{1\leqslant X\leqslant 2\}=P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}$。由于 $Z$ 服从标准正态分布，我们可以使用标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 来计算这个概率，即 $P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\Phi(1)-\Phi(0)$。
步骤 3：使用给定的 $\Phi(1)$ 值
根据题目中给出的 $\Phi(1)=0.8413$，以及标准正态分布函数在 $z=0$ 处的值 $\Phi(0)=0.5$，我们可以计算出 $P\{0\leqslant Z\leqslant 1\}=\Phi(1)-\Phi(0)=0.8413-0.5=0.3413$。