10.某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本X_(1),X_(2),...,X_(13),Y_(1),Y_(2),...,Y_(17)已知两样的样本均值及样本方差分别为：overline(x)=10.6g,overline(y)=9.5g,s_(1)^2=2.4g^2,s_(2)^2=4.7g^2.假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布，其期望分别为mu_(1)与mu_(2)，方差分别为sigma_(1)^2,sigma_(2)^2.

为了确定两条流水线上罐装的番茄酱的平均重量是否存在显著差异，我们需要进行两个独立样本的t检验。由于方差未知且可能不相等，我们将使用Welch's t检验。 ### 步骤1：定义假设 - 零假设 $ H_0 $： $ \mu_1 = \mu_2 $（两条流水线上的平均重量相等） - 备择假设 $ H_1 $： $ \mu_1 \neq \mu_2 $（两条流水线上的平均重量不相等） ### 步骤2：计算t统计量 Welch's t检验的t统计量公式为： \[ t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \] 其中： - $ \bar{x} = 10.6 $ g（样本1的均值） - $ \bar{y} = 9.5 $ g（样本2的均值） - $ s_1^2 = 2.4 $ $ g^2 $（样本1的方差） - $ s_2^2 = 4.7 $ $ g^2 $（样本2的方差） - $ n_1 = 13 $（样本1的大小） - $ n_2 = 17 $（样本2的大小） 代入数值，我们得到： \[ t = \frac{10.6 - 9.5}{\sqrt{\frac{2.4}{13} + \frac{4.7}{17}}} = \frac{1.1}{\sqrt{0.1846 + 0.2765}} = \frac{1.1}{\sqrt{0.4611}} \approx \frac{1.1}{0.679} \approx 1.62 \] ### 步骤3：计算自由度 Welch's t检验的自由度 $ \nu $ 由以下公式近似： \[ \nu \approx \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}} \] 代入数值，我们得到： \[ \nu \approx \frac{\left( \frac{2.4}{13} + \frac{4.7}{17} \right)^2}{\frac{\left( \frac{2.4}{13} \right)^2}{12} + \frac{\left( \frac{4.7}{17} \right)^2}{16}} = \frac{(0.1846 + 0.2765)^2}{\frac{(0.1846)^2}{12} + \frac{(0.2765)^2}{16}} = \frac{0.4611^2}{\frac{0.0341}{12} + \frac{0.0764}{16}} = \frac{0.2126}{0.00284 + 0.004775} \approx \frac{0.2126}{0.007615} \approx 27.92 \] 我们向下取整，得到 $ \nu = 27 $。 ### 步骤4：确定临界值 对于双侧检验，显著水平 $ \alpha = 0.05 $，自由度 $ \nu = 27 $，t分布表给出的临界值为 $ t_{0.025, 27} \approx 2.052 $。 ### 步骤5：比较t统计量与临界值 由于 $ |t| = 1.62 < 2.052 $，我们 fail to reject $ H_0 $. ### 结论 在0.05的显著水平下，没有足够的证据表明两条流水线上罐装的番茄酱的平均重量存在显著差异。 \[ \boxed{1.62} \]