设函数 f(x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足 f(0)=0，f(1)=1，f((1)/(2))>(1)/(4)。证明：(1) 至少存在一点 xi in (0,1)，使得 f''(xi) < 2；(2) 若对一切 x in (0,1)，有 f''(x) neq 2，则当 x in (0,1) 时，恒有 f(x) > x^2。

我们来逐步分析并解答这个题目。

题目条件总结：

• 函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数；
• $ f(0) = 0 $，$ f(1) = 1 $；
• $ f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4} $。

第(1)问：证明至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) < 2 $

思路分析：

我们考虑构造一个辅助函数来比较 $ f(x) $ 和 $ x^2 $ 的关系。

设辅助函数为：

$g(x) = f(x) - x^2$

那么：

• $ g(0) = f(0) - 0^2 = 0 $
• $ g(1) = f(1) - 1^2 = 1 - 1 = 0 $
• $ g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^2 > \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 $

所以，$ g(x) $ 在区间 $[0,1]$ 上满足：

• $ g(0) = g(1) = 0 $
• $ g\left(\frac{1}{2}\right) > 0 $

这说明 $ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上先增后减，或中间有极大值。

因此，$ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上有极大值点，设为 $ x_0 \in (0,1) $，则：

$g'(x_0) = 0,\quad g''(x_0) < 0$

而 $ g(x) = f(x) - x^2 $，所以：

$g''(x) = f''(x) - 2$

因此：

$g''(x_0) = f''(x_0) - 2 < 0 \Rightarrow f''(x_0) < 2$

这就证明了存在一点 $ \xi = x_0 \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) < 2 $。

第(1)问结论：

至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) < 2 $。✅

第(2)问：若对一切 $ x \in (0,1) $，有 $ f''(x) \neq 2 $，则当 $ x \in (0,1) $ 时，恒有 $ f(x) > x^2 $

思路分析：

我们再次考虑辅助函数：

$g(x) = f(x) - x^2$

我们已知：

• $ g(0) = g(1) = 0 $
• $ g\left(\frac{1}{2}\right) > 0 $

又因为 $ f''(x) \neq 2 $，所以：

$g''(x) = f''(x) - 2 \neq 0$

即 $ g''(x) $ 在 $ (0,1) $ 上不等于 0，也就是说 $ g''(x) $ 在 $ (0,1) $ 上恒为正或恒为负。

但我们知道：

• $ g(0) = g(1) = 0 $
• $ g\left(\frac{1}{2}\right) > 0 $

这说明 $ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上先增后减，有一个极大值点，所以 $ g''(x) $ 必须在某点变号。

但如果 $ g''(x) \neq 0 $，则 $ g''(x) $ 不能变号，否则会在某点等于 0，矛盾。

所以，我们得出：

• $ g''(x) < 0 $，即 $ f''(x) < 2 $，在 $ (0,1) $ 上恒成立。

因此，$ g(x) $ 在 $[0,1]$ 上是凹函数（因为二阶导数小于 0），且：

• $ g(0) = g(1) = 0 $
• $ g(x) > 0 $ 在 $ (0,1) $ 上成立

这说明 $ g(x) > 0 $ 在 $ (0,1) $ 上恒成立，即：

$f(x) - x^2 > 0 \Rightarrow f(x) > x^2 \quad \text{在} \quad (0,1)$

第(2)问结论：

若对一切 $ x \in (0,1) $，有 $ f''(x) \neq 2 $，则在 $ (0,1) $ 上恒有 $ f(x) > x^2 $。✅

最终答案总结：

(1) 至少存在一点 $ \xi \in (0,1) $，使得 $ f''(\xi) < 2 $。

(2) 若对一切 $ x \in (0,1) $，有 $ f''(x) \neq 2 $，则在 $ (0,1) $ 上恒有 $ f(x) > x^2 $。

答：

$\boxed{ \begin{aligned}&\text{(1) 存在 } \xi \in (0,1) \text{ 使得 } f''(\xi) < 2；\\&\text{(2) 若 } f''(x) \neq 2 \text{ 对所有 } x \in (0,1)，\text{ 则 } f(x) > x^2 \text{ 在 } (0,1) \text{ 上恒成立。}\end{aligned} }$