题目

设总体X的分布为 p(x)= } (theta+1)x^theta, & 0 < x < 1 0, & (其他) +1

设总体X的分布为 $p(x)= \begin{cases} (\theta+1)x^\theta, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 其中 $\theta > -1$ 是未知参数, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为来自总体X的一个容量为n的简单随机样本, 则 $\theta$ 的矩估计值为()。

A $\hat{\theta} = \frac{2\overline{x}-1}{1-\overline{x}}$

B $\hat{\theta} = \frac{2\overline{x}+1}{1-\overline{x}}$

C $\hat{\theta} = \frac{2\overline{x}-1}{1+\overline{x}}$

D $\hat{\theta} = 2\overline{x}+1$

题目解答

答案

为了找到参数$\theta$的矩估计值，我们需要使用矩估计法，该方法涉及将总体的矩与样本的矩相等。这里，我们将使用总体的期望值（第一矩）与样本的平均值相等的事实。 首先，我们找到总体$X$的期望值$E(X)$。期望值由下式给出： \[ E(X) = \int_0^1 x \cdot p(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot (\theta+1)x^{\theta} \, dx = \int_0^1 (\theta+1)x^{\theta+1} \, dx. \] 我们可以这样计算这个积分： \[ \int_0^1 (\theta+1)x^{\theta+1} \, dx = (\theta+1) \left[ \frac{x^{\theta+2}}{\theta+2} \right]_0^1 = (\theta+1) \cdot \frac{1}{\theta+2} = \frac{\theta+1}{\theta+2}. \] 因此，期望值$E(X)$为： \[ E(X) = \frac{\theta+1}{\theta+2}. \] 在矩估计法中，我们将总体的期望值与样本的平均值相等。设$\overline{x}$为样本平均值。那么，我们有： \[ \overline{x} = \frac{\theta+1}{\theta+2}. \] 我们需要解这个方程，求出$\theta$。重新排列方程，我们得到： \[ \overline{x}(\theta+2) = \theta+1. \] 展开并简化，我们有： \[ \overline{x}\theta + 2\overline{x} = \theta + 1. \] 将涉及$\theta$的项移到一边，我们得到： \[ 2\overline{x} - 1 = \theta - \overline{x}\theta. \] 在右边提取$\theta$，我们有： \[ 2\overline{x} - 1 = \theta(1 - \overline{x}). \] 解出$\theta$，我们得到： \[ \theta = \frac{2\overline{x} - 1}{1 - \overline{x}}. \] 因此，$\theta$的矩估计值为： \[ \hat{\theta} = \frac{2\overline{x} - 1}{1 - \overline{x}}. \] 正确答案是$\boxed{A}$。

解析

本题考查矩估计法的知识，解题思路是先求出总体的期望值，再将总体的期望值与样本的平均值相等，最后解出参数$\theta$的矩估计值。

  1. 求总体$X$的期望值$E(X)$：
    根据期望的定义，$E(X)=\int_0^1 x\cdot p(x)dx$，已知$p(x)=\begin{cases}(\theta + 1)x^{\theta}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则：
    $\begin{align*}E(X)&=\int_0^1 x\cdot(\theta + 1)x^{\theta}dx\\&=\int_0^1 (\theta + 1)x^{\theta + 1}dx\\&=(\theta + 1)\left[\frac{x^{\theta + 2}}{\theta + 2}\right]_0^1\\&=(\theta + 1)\cdot\frac{1}{\theta + 2}\\&=\frac{\theta + 1}{\theta + 2}\end{align*}$
  2. 令总体的期望值与样本的平均值相等：
    设$\overline{x}$为样本平均值，即$\overline{x}=\frac{\theta + 1}{\theta + 2}$。
  3. 解出$\theta$：
    重新排列方程$\overline{x}(\theta + 2)=\theta + 1$，展开并简化：
    $\begin{align*}\overline{x}\theta + 2\overline{x}&=\theta + 1\\2\overline{x} - 1&=\theta - \overline{x}\theta\\2\overline{x} - 1&=\theta(1 - \overline{x})\end{align*}$
    解出$\theta$，得到：
    $\theta = \frac{2\overline{x} - 1}{1 - \overline{x}}$
    所以$\theta$的矩估计值为$\hat{\theta}=\frac{2\overline{x} - 1}{1 - \overline{x}}$。