9、单选 设样本X1，X2，…，Xn为来自总体X的一组样本，总体的概率密度为：f(x)=}theta x^theta-1,0<10, others求θ的极大似然估计量为（）A hat(theta)=(n)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}B hat(theta)=(n)/(sum_(i=1)^nln X_{i)}

本题考查极大似然估计量的求解，解题思路是先根据总体的概率密度函数写出似然函数，然后对似然函数取对数，接着求对数似然函数关于参数 $\theta$ 的导数并令其为零，最后解出参数 $\theta$ 的值，即为极大似然估计量。

1. 写出似然函数：
   已知样本 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 来自总体 $X$，总体的概率密度为 $f(x)=\begin{cases}\theta x^{\theta - 1},&0 < x < 1\\0,&\text{others}\end{cases}$。
   似然函数 $L(\theta)$ 是样本的联合概率密度函数，由于样本相互独立，所以似然函数为各个样本概率密度函数的乘积，即：
   $\begin{align*}L(\theta)&=\prod_{i = 1}^{n}f(X_i)\\&=\prod_{i = 1}^{n}\theta X_i^{\theta - 1}\\&=\theta^n\left(\prod_{i = 1}^{n}X_i\right)^{\theta - 1}\end{align*}$
2. 对似然函数取对数：
   为了方便求导，对似然函数 $L(\theta)$ 取自然对数，得到对数似然函数 $\ell(\theta)$：
   $\begin{align*}\ell(\theta)&=\ln L(\theta)\\&=\ln\left[\theta^n\left(\prod_{i = 1}^{n}X_i\right)^{\theta - 1}\right]\\&=\ln\theta^n + \ln\left[\left(\prod_{i = 1}^{n}X_i\right)^{\theta - 1}\right]\\&=n\ln\theta + (\theta - 1)\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\end{align*}$
3. 求对数似然函数关于 $\theta$ 的导数并令其为零：
   对 $\ell(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导：
   $\begin{align*}\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}\left[n\ln\theta + (\theta - 1)\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\right]\\&=\frac{n}{\theta} + \sum_{i = 1}^{n}\ln X_i\end{align*}$
   令 $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=0$，即：
   $\frac{n}{\theta} + \sum_{i = 1}^{n}\ln X_i = 0$
   移项可得：
   $\frac{n}{\theta}=-\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i$
   解得：
   $\theta = -\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}$
4. 判断 $\theta$ 的取值范围：
   因为 $0 < X_i < 1$，根据对数函数的性质，$\ln x$ 在 $(0,1)$ 上小于 $0$，所以 $\ln X_i < 0$，那么 $\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i < 0$，从而 $-\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i > 0$，即 $\theta > 0$。
   因此，$\theta$ 的极大似然估计量为 $\hat{\theta}=-\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\ln X_i}$，选项 A 正确。