题目
1.lim _(xarrow infty )dfrac (2)(x)sin dfrac (x)(3)=()-|||-__
1.
题目解答
答案
由于
为无穷小，
为有界值，
故
解析
步骤 1：分析无穷小量
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}=0$，因为当$x$趋向于无穷大时，$\dfrac {2}{x}$趋向于0，这是一个无穷小量。
步骤 2：分析有界函数
$\sin \dfrac {x}{3}$是一个有界函数，因为对于所有$x$，$\sin \dfrac {x}{3}$的值都在$[-1,1]$之间。
步骤 3：无穷小量与有界函数的乘积
根据极限的性质，无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}\sin \dfrac {x}{3}=0$。
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}=0$，因为当$x$趋向于无穷大时，$\dfrac {2}{x}$趋向于0，这是一个无穷小量。
步骤 2：分析有界函数
$\sin \dfrac {x}{3}$是一个有界函数，因为对于所有$x$，$\sin \dfrac {x}{3}$的值都在$[-1,1]$之间。
步骤 3：无穷小量与有界函数的乘积
根据极限的性质，无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}\sin \dfrac {x}{3}=0$。