题目
6.(单选题，5分) 设(X_(1),X_(2),...,X_(n))为总体N(1,2^2)的一个样本，若csum_(i=1)^n(X_(i)-1)^2sim chi^2(n)则c=____A. 1B. 2C. 4D. (1)/(4)
6.(单选题，5分) 设$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$为总体$N(1,2^{2})$的一个样本，若$c\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-1)^{2}\sim \chi^{2}(n)$则c=____
A. 1
B. 2
C. 4
D. $\frac{1}{4}$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{4}$
解析
步骤 1：理解样本和总体分布
$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是总体 $N(1,2^{2})$ 的一个样本，这意味着每个 $X_i$ 都服从均值为1，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化变量
对于均值为 $\mu$ 和方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，标准化变量 $\frac{X_i - \mu}{\sigma}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。在我们的情况下，$\mu = 1$ 和 $\sigma = 2$，因此 $\frac{X_i - 1}{2}$ 服从 $N(0, 1)$。
步骤 3：卡方分布的性质
标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。因此，$\left( \frac{X_i - 1}{2} \right)^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：求和
对 $n$ 个这样的变量求和，我们得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - 1}{2} \right)^2 \sim \chi^2(n) \] 这可以重写为：\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - 1)^2}{4} \sim \chi^2(n) \]
步骤 5：确定 $c$ 的值
为了匹配形式 $c \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，我们确定 $c = \frac{1}{4}$。
$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$ 是总体 $N(1,2^{2})$ 的一个样本，这意味着每个 $X_i$ 都服从均值为1，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化变量
对于均值为 $\mu$ 和方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，标准化变量 $\frac{X_i - \mu}{\sigma}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。在我们的情况下，$\mu = 1$ 和 $\sigma = 2$，因此 $\frac{X_i - 1}{2}$ 服从 $N(0, 1)$。
步骤 3：卡方分布的性质
标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。因此，$\left( \frac{X_i - 1}{2} \right)^2 \sim \chi^2(1)$。
步骤 4：求和
对 $n$ 个这样的变量求和，我们得到：\[ \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - 1}{2} \right)^2 \sim \chi^2(n) \] 这可以重写为：\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - 1)^2}{4} \sim \chi^2(n) \]
步骤 5：确定 $c$ 的值
为了匹配形式 $c \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，我们确定 $c = \frac{1}{4}$。