18.（单选题，2.0分）计算第一象限内“e^-(x^2+y^2)的二重积分”时，选择极坐标的主要原因是（）。A. 极坐标下积分区域更复杂B. 极坐标下被积函数会变为常数C. 直角坐标下无法确定积分限D. 极坐标可将x^2+y^2转化为r^2，且补出r后被积函数可积

本题考查二重积分中选择极坐标的原因，解题思路是分析每个选项与在第一象限内计算$e^{-(x^2 + y^2)}$二重积分时选择极坐标的关系。

• 选项A：
  在第一象限内，直角坐标下积分区域可以表示为$0\leq x\lt+\infty$，$0\leq y\lt+\infty$；而在极坐标下，积分区域可表示为$0\leq r\lt+\infty$，$0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$。显然极坐标下积分区域的表示更简洁，并非更复杂，所以选项A错误。
• 选项B：
  在极坐标变换中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则被积函数$e^{-(x^2 + y^2)}$变为$e^{-r^2}$，它并不是常数，所以选项B错误。
• 选项C：
  在直角坐标下，积分区域$D$为第一象限，即$D=\{(x,y)|0\leq x\lt+\infty,0\leq y\lt+\infty\}$，积分限是可以确定的，所以选项C错误。
• 选项D：
  在极坐标变换中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，那么$x^2 + y^2=r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$，此时被积函数$e^{-(x^2 + y^2)}$变为$e^{-r^2}$。
  同时，在极坐标下计算二重积分时，面积元素$d\sigma=dxdy$要变为$d\sigma = r drd\theta$，原二重积分$\iint_{D}e^{-(x^2 + y^2)}dxdy$就变为$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r dr$。
  对于$\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r dr$，令$t = r^2$，则$dt = 2r dr$，当$r = 0$时，$t = 0$；当$r\to+\infty$时，$t\to+\infty$，那么$\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r dr=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt$。
  根据指数函数积分公式$\int e^{-t}dt=-e^{-t}+C$，可得$\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}e^{-t}dt=\frac{1}{2}(-e^{-t})\big|_{0}^{+\infty}=\frac{1}{2}(0 + 1)=\frac{1}{2}$。
  所以极坐标可将$x^2 + y^2$转化为$r^2$，且补出$r$后被积函数可积，选项D正确。