题目
将9名新生随机地平均分配到 3 个 班级中去这 9 名 新生中有 3 名 是优秀生求 ( 1 ) 每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少( 2 ) 3 名 优秀生分配在同一个班级的概率是多少
将9名新生随机地平均分配到 3 个 班级中去这 9 名 新生中有 3 名 是优秀生求
( 1 ) 每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少( 2 ) 3 名 优秀生分配在同一个班级的概率是多少
题目解答
答案
解：
根据题意，本题是排列组合问题，根据分类，分布计算法分析每一问，由于是平均分配，则每班三人
根据组合数的计算公式
排列数的计算公式
（1）每个班级各分配到一名优秀生，即是每一个班分配一名优秀新生和两名非优秀新生，故第一步先将三名优秀新生分配到三个班，将其进行全排列有
=3×2×1=6种方法；第二步再将剩下的6名非优秀新生平均分配到三个班有：
=15×6=90种方法，将两步的方法数相乘即可得到每个班级各分配到一名优秀生的事件数为
=90×6=540种
而将9名新生不按任何条件平均分配到三个班，有
=84×20=1680种方法
记 每个班级各分配到一名优秀生为A事件
则P(A)=
（2）3 名 优秀生分配在同一个班级则第一步，先将3名优秀生分配到同一个班级去，有
=3种，第二步把剩下的6名非优秀新生平均分配到两个班，有
=20种，将两步的方法数相乘即可得到3 名 优秀生分配在同一个班级的事件数为
=20×3=60种
而将9名新生不按任何条件平均分配到三个班，有=1680种方法
记 3 名 优秀生分配在同一个班级为事件B
则P(B)=
综上所述：（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是
;(2)3 名 优秀生分配在同一个班级的概率是
解析
步骤 1：计算每个班级各分配到一名优秀生的事件数
- 首先，将三名优秀生分配到三个班，有${A}_{3}^{3}$种方法，即$3! = 6$种方法。
- 然后，将剩下的6名非优秀生平均分配到三个班，有${C}_{6}^{2}\times {C}_{4}^{2}\times {C}_{2}^{2}$种方法，即$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$种方法。
- 因此，每个班级各分配到一名优秀生的事件数为${C}_{6}^{2}\times {C}_{4}^{2}\times {C}_{2}^{2}\times {A}_{3}^{3} = 90 \times 6 = 540$种。
步骤 2：计算将9名新生不按任何条件平均分配到三个班的事件数
- 将9名新生平均分配到三个班，有${C}_{9}^{3}\times {C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}$种方法，即$\dfrac{9!}{3!3!3!} = 1680$种方法。
步骤 3：计算每个班级各分配到一名优秀生的概率
- 每个班级各分配到一名优秀生的概率为$\dfrac{540}{1680} = \dfrac{9}{28}$。
步骤 4：计算3名优秀生分配在同一个班级的事件数
- 首先，将3名优秀生分配到同一个班级，有${C}_{3}^{1}$种方法，即$3$种方法。
- 然后，将剩下的6名非优秀生平均分配到两个班，有${C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}$种方法，即$\dfrac{6!}{3!3!} = 20$种方法。
- 因此，3名优秀生分配在同一个班级的事件数为${C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}\times {C}_{3}^{1} = 20 \times 3 = 60$种。
步骤 5：计算3名优秀生分配在同一个班级的概率
- 3名优秀生分配在同一个班级的概率为$\dfrac{60}{1680} = \dfrac{1}{28}$。
- 首先，将三名优秀生分配到三个班，有${A}_{3}^{3}$种方法，即$3! = 6$种方法。
- 然后，将剩下的6名非优秀生平均分配到三个班，有${C}_{6}^{2}\times {C}_{4}^{2}\times {C}_{2}^{2}$种方法，即$\dfrac{6!}{2!2!2!} = 90$种方法。
- 因此，每个班级各分配到一名优秀生的事件数为${C}_{6}^{2}\times {C}_{4}^{2}\times {C}_{2}^{2}\times {A}_{3}^{3} = 90 \times 6 = 540$种。
步骤 2：计算将9名新生不按任何条件平均分配到三个班的事件数
- 将9名新生平均分配到三个班，有${C}_{9}^{3}\times {C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}$种方法，即$\dfrac{9!}{3!3!3!} = 1680$种方法。
步骤 3：计算每个班级各分配到一名优秀生的概率
- 每个班级各分配到一名优秀生的概率为$\dfrac{540}{1680} = \dfrac{9}{28}$。
步骤 4：计算3名优秀生分配在同一个班级的事件数
- 首先，将3名优秀生分配到同一个班级，有${C}_{3}^{1}$种方法，即$3$种方法。
- 然后，将剩下的6名非优秀生平均分配到两个班，有${C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}$种方法，即$\dfrac{6!}{3!3!} = 20$种方法。
- 因此，3名优秀生分配在同一个班级的事件数为${C}_{6}^{3}\times {C}_{3}^{3}\times {C}_{3}^{1} = 20 \times 3 = 60$种。
步骤 5：计算3名优秀生分配在同一个班级的概率
- 3名优秀生分配在同一个班级的概率为$\dfrac{60}{1680} = \dfrac{1}{28}$。