2.（8分）设某车间生产的螺杆直径服从正态分布N(mu，sigma^2)，今随机抽取5只，测得的直径（单位：mm）为22.5 20.5 21.8 22.0 21.0（1）已知sigma=0.3，求mu的0.95置信区间；（2）sigma未知，求mu的0.95置信区间.(Z_(0.025)=1.96,t_(0.025)(5)=2.5706,t_(0.025)(4)=2.7764)

为了解决这个问题，我们需要找到螺杆直径平均值$\mu$的95%置信区间，给定两组不同的条件。让我们一步步来解决。 ### 第一部分：已知$\sigma = 0.3$，求$\mu$的0.95置信区间 1. **计算样本均值$\bar{x}$:** \[ \bar{x} = \frac{22.5 + 20.5 + 21.8 + 22.0 + 21.0}{5} = \frac{107.8}{5} = 21.56 \] 2. **确定临界值$Z_{0.025}$:** 由于$\sigma$已知，我们使用标准正态分布。对于95%的置信区间，临界值$Z_{0.025}$是1.96。 3. **计算 margin of error $E$:** \[ E = Z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{0.3}{\sqrt{5}} = 1.96 \cdot \frac{0.3}{2.236} \approx 0.263 \] 4. **构建置信区间:** \[ \bar{x} \pm E = 21.56 \pm 0.263 \] 因此，95%的置信区间是： \[ (21.56 - 0.263, 21.56 + 0.263) \approx (21.297, 21.823) \] ### 第二部分：$\sigma$未知，求$\mu$的0.95置信区间 1. **计算样本均值$\bar{x}$:** \[ \bar{x} = 21.56 \quad \text{(与第一部分相同)} \] 2. **计算样本标准差 $s$:** \[ s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \] 首先，计算$(x_i - \bar{x})^2$: \[ (22.5 - 21.56)^2 = 0.9409, \quad (20.5 - 21.56)^2 = 1.3456, \quad (21.8 - 21.56)^2 = 0.0576, \quad (22.0 - 21.56)^2 = 0.1936, \quad (21.0 - 21.56)^2 = 0.3136 \] 然后，求和： \[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.9409 + 1.3456 + 0.0576 + 0.1936 + 0.3136 = 2.8513 \] 最后，计算 $s$: \[ s = \sqrt{\frac{2.8513}{4}} = \sqrt{0.712825} \approx 0.8443 \] 3. **确定临界值 $t_{0.025}(4)$:** 由于$\sigma$未知，我们使用t分布。对于95%的置信区间和 $n-1 = 4$ 的自由度，临界值 $t_{0.025}(4)$ 是2.7764。 4. **计算 margin of error $E$:** \[ E = t_{0.025}(4) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.7764 \cdot \frac{0.8443}{\sqrt{5}} = 2.7764 \cdot \frac{0.8443}{2.236} \approx 1.099 \] 5. **构建置信区间:** \[ \bar{x} \pm E = 21.56 \pm 1.099 \] 因此，95%的置信区间是： \[ (21.56 - 1.099, 21.56 + 1.099) \approx (20.461, 22.659) \] ### 最终答案 1. 已知$\sigma = 0.3$，$\mu$的95%置信区间是 $\boxed{(21.297, 21.823)}$. 2. $\sigma$未知，$\mu$的95%置信区间是 $\boxed{(20.461, 22.659)}$.