题目
2.某厂生产一批金属材料,其抗弯强度(单位:kg)服从正态分布.现从这批金属材料中随-|||-机抽取11个试件,测得它们的抗弯强度为:-|||-42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.943.7-|||-(1)求平均抗弯强度μ的置信水平为0.95的置信区间;-|||-(2)求抗弯强度标准差σ的置信水平为0.90的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值和样本标准差
首先，计算样本均值 \(\bar{x}\) 和样本标准差 \(s\)。
样本均值 \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)，其中 \(n=11\)。
样本标准差 \(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\)。
步骤 2：计算平均抗弯强度μ的置信区间
平均抗弯强度μ的置信区间为 \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}\)，其中 \(t_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的 t 分布的临界值，\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)。
步骤 3：计算抗弯强度标准差σ的置信区间
抗弯强度标准差σ的置信区间为 \(\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}\right]\)，其中 \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}\) 和 \(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的卡方分布的临界值，\(\alpha = 1 - 0.90 = 0.10\)。
首先，计算样本均值 \(\bar{x}\) 和样本标准差 \(s\)。
样本均值 \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)，其中 \(n=11\)。
样本标准差 \(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\)。
步骤 2：计算平均抗弯强度μ的置信区间
平均抗弯强度μ的置信区间为 \(\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}\)，其中 \(t_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的 t 分布的临界值，\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)。
步骤 3：计算抗弯强度标准差σ的置信区间
抗弯强度标准差σ的置信区间为 \(\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}\right]\)，其中 \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}\) 和 \(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) 是自由度为 \(n-1\) 的卡方分布的临界值，\(\alpha = 1 - 0.90 = 0.10\)。