题目
设随机变量 sim N(1,2) sim N(2,4), 且X与Y相互独立,则 () A. 设随机变量 sim N(1,2) sim N(2,4), 且X与Y相互独立,则 ()B. 设随机变量 sim N(1,2) sim N(2,4), 且X与Y相互独立,则 ()C. 设随机变量 sim N(1,2) sim N(2,4), 且X与Y相互独立,则 ()D. 设随机变量 sim N(1,2) sim N(2,4), 且X与Y相互独立,则 ()
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
B. $\dfrac {2X-Y}{2\sqrt {3}}\sim N(0,1)$;
解析
步骤 1：确定 $2X$ 的分布
由于 $X\sim N(1,2)$，则 $2X\sim N(2\times1,2^2\times2)=N(2,8)$。
步骤 2：确定 $-Y$ 的分布
由于 $Y\sim N(2,4)$，则 $-Y\sim N(-2,4)$。
步骤 3：确定 $2X-Y$ 的分布
由于 $2X$ 和 $-Y$ 相互独立，$2X-Y\sim N(2-2,8+4)=N(0,12)$。
步骤 4：确定 $\dfrac{2X-Y}{2\sqrt{3}}$ 的分布
由于 $2X-Y\sim N(0,12)$，则 $\dfrac{2X-Y}{2\sqrt{3}}\sim N(0,1)$。
步骤 5：确定 $2X-Y+1$ 的分布
由于 $2X-Y\sim N(0,12)$，则 $2X-Y+1\sim N(1,12)$。
步骤 6：确定 $\dfrac{2X-Y+1}{2\sqrt{3}}$ 的分布
由于 $2X-Y+1\sim N(1,12)$，则 $\dfrac{2X-Y+1}{2\sqrt{3}}\sim N(\dfrac{1}{2\sqrt{3}},1)$。
由于 $X\sim N(1,2)$，则 $2X\sim N(2\times1,2^2\times2)=N(2,8)$。
步骤 2：确定 $-Y$ 的分布
由于 $Y\sim N(2,4)$，则 $-Y\sim N(-2,4)$。
步骤 3：确定 $2X-Y$ 的分布
由于 $2X$ 和 $-Y$ 相互独立，$2X-Y\sim N(2-2,8+4)=N(0,12)$。
步骤 4：确定 $\dfrac{2X-Y}{2\sqrt{3}}$ 的分布
由于 $2X-Y\sim N(0,12)$，则 $\dfrac{2X-Y}{2\sqrt{3}}\sim N(0,1)$。
步骤 5：确定 $2X-Y+1$ 的分布
由于 $2X-Y\sim N(0,12)$，则 $2X-Y+1\sim N(1,12)$。
步骤 6：确定 $\dfrac{2X-Y+1}{2\sqrt{3}}$ 的分布
由于 $2X-Y+1\sim N(1,12)$，则 $\dfrac{2X-Y+1}{2\sqrt{3}}\sim N(\dfrac{1}{2\sqrt{3}},1)$。