题目

设总体sim N(mu ,4)，其中sim N(mu ,4)未知，sim N(mu ,4)是来自总体的样本，sim N(mu ,4)为样本均值，sim N(mu ,4)为样本方差，则下列各式中不是统计量的是（）A.sim N(mu ,4)B.sim N(mu ,4)C.sim N(mu ,4)D.sim N(mu ,4)

设总体 $X\sim N(\mu,4)$ ，其中 $\mu$ 未知， $x_1,x_2,\dots,x_n$ 是来自总体的样本， $\overline{x}$ 为样本均值， $s^2$ 为样本方差，则下列各式中不是统计量的是（）

A. $2\overline{x}$

B. $\frac{s^2}{\sigma^2}$

C. $\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma}$

D. $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

题目解答

答案

统计量中只能包含已知量，不能包含未知参数。 $X\sim N(\mu,4)$ 表示总体X服从均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2=4$ 的正态分布，其中均值 $\mu$ 未知，方差 $\sigma^2=4$ 已知，来自总体的样本 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 为已知量，则包含未知参数 $\mu$ 的都不是统计量，样本均值 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$ 中样本都已知，则样本均值 $\overline{x}$ 是统计量，样本方差 $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2$ 中样本和样本均值都为已知量，则样本方差 $s^2$ 是统计量，则 $2\overline{x}$ 中样本均值 $\overline{x}$ 为已知量，则选项A是统计量； $\frac{s^2}{\sigma^2}$ 中样本方差 $s^2$ 和总体方差 $\sigma^2=4$ 都已知，则选项B的是统计量； $\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma}$ 中包含未知参数 $\mu$ ，则选项C不是统计量； $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ 中样本方差 $s^2$ 和总体方差 $\sigma^2=4$ 都已知，则选项D是统计量，因此选择C。

解析

统计量的定义是：仅由样本数据构成的函数，不能包含任何未知总体参数。本题中，总体方差$\sigma^2=4$已知，均值$\mu$未知。因此，若选项中出现未知参数$\mu$或依赖未知参数的表达式，则该选项不是统计量。

选项分析

A. $\bar{x}$

样本均值$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，仅依赖于样本数据$x_1, x_2, \dots, x_n$，不含未知参数，是统计量。

B. $\dfrac{s^2}{\sigma^2}$

样本方差$s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，分母$\sigma^2=4$已知，因此该比值仅依赖于样本数据和已知参数，是统计量。

C. $\dfrac{0}{x - x}$

分母$x - x = 0$，导致表达式为$\dfrac{0}{0}$，数学上未定义。若题目实际为$\dfrac{0}{\mu - \bar{x}}$（可能输入错误），则分母含未知参数$\mu$，不是统计量。无论哪种情况，该选项均不符合统计量的定义。

D. $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

分子$(n-1)s^2$是自由度调整后的样本方差，分母$\sigma^2=4$已知，因此该表达式是统计量（服从自由度为$n-1$的卡方分布）。

设总体sim N(mu ,4)，其中sim N(mu ,4)未知，sim N(mu ,4)是来自总体的样本，sim N(mu ,4)为样本均值，sim N(mu ,4)为样本方差，则下列各式中不是统计量的是（ ）A.sim N(mu ,4)B.sim N(mu ,4)C.sim N(mu ,4)D.sim N(mu ,4)

题目解答

答案

解析

设总体sim N(mu ,4)，其中sim N(mu ,4)未知，sim N(mu ,4)是来自总体的样本，sim N(mu ,4)为样本均值，sim N(mu ,4)为样本方差，则下列各式中不是统计量的是（）A.sim N(mu ,4)B.sim N(mu ,4)C.sim N(mu ,4)D.sim N(mu ,4)