题目
(1)设θ是参数θ的无偏估计,且有 (hat (theta ))gt 0, 试证-|||-(theta )^2=((overrightarrow {theta ))}^2 不是θ^2的无偏估计.-|||-(2)试证明均匀分布-|||-f(x)= { , 0lt xleqslant theta 0, .-|||-中未知参数θ的最大似然估计量不是无偏的.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义无偏估计
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat {\theta })=\theta $ 。
步骤 2：计算 ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 的期望
由于 $\hat {\theta }$ 是θ的无偏估计，所以 $E(\hat {\theta })=\theta $ 。根据方差的定义，有 $D(\hat {\theta })=E(\hat {\theta }^{2})-[E(\hat {\theta })]^{2}$ 。因此， $E(\hat {\theta }^{2})=D(\hat {\theta })+[E(\hat {\theta })]^{2}=D(\hat {\theta })+\theta ^{2}$ 。
步骤 3：比较 ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 的期望与θ^2
由于 $D(\hat {\theta })\gt 0$ ，所以 $E(\hat {\theta }^{2})=\theta ^{2}+D(\hat {\theta })\gt \theta ^{2}$ 。因此， ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 不是θ^2的无偏估计。
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即 $E(\hat {\theta })=\theta $ 。
步骤 2：计算 ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 的期望
由于 $\hat {\theta }$ 是θ的无偏估计，所以 $E(\hat {\theta })=\theta $ 。根据方差的定义，有 $D(\hat {\theta })=E(\hat {\theta }^{2})-[E(\hat {\theta })]^{2}$ 。因此， $E(\hat {\theta }^{2})=D(\hat {\theta })+[E(\hat {\theta })]^{2}=D(\hat {\theta })+\theta ^{2}$ 。
步骤 3：比较 ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 的期望与θ^2
由于 $D(\hat {\theta })\gt 0$ ，所以 $E(\hat {\theta }^{2})=\theta ^{2}+D(\hat {\theta })\gt \theta ^{2}$ 。因此， ${\theta }^{2}={(\overrightarrow {\theta })}^{2}$ 不是θ^2的无偏估计。