题目

3 设随机变量X~N(-2,4),Y~N(0,3),且它们相互独立,试求3X-2Y的分布.

题目解答

答案

为了确定随机变量 $3X - 2Y$ 的分布，其中 $X \sim N(-2, 4)$ 和 $Y \sim N(0, 3)$ 相互独立，我们需要使用正态分布的性质。具体来说，正态随机变量的线性组合也是正态分布的。 ### 步骤1：计算 $3X - 2Y$ 的均值对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的线性组合 $aX + bY$ 的均值为 $aE(X) + bE(Y)$。这里，$a = 3$，$b = -2$，$E(X) = -2$，$E(Y) = 0$。因此，$3X - 2Y$ 的均值为： \[ E(3X - 2Y) = 3E(X) - 2E(Y) = 3(-2) - 2(0) = -6 \] ### 步骤2：计算 $3X - 2Y$ 的方差对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，它们的线性组合 $aX + bY$ 的方差为 $a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$。这里，$a = 3$，$b = -2$，$\text{Var}(X) = 4$，$\text{Var}(Y) = 3$。因此，$3X - 2Y$ 的方差为： \[ \text{Var}(3X - 2Y) = 3^2\text{Var}(X) + (-2)^2\text{Var}(Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 36 + 12 = 48 \] ### 步骤3：确定 $3X - 2Y$ 的分布由于 $X$ 和 $Y$ 都是正态分布的，它们的线性组合 $3X - 2Y$ 也是正态分布的。因此，$3X - 2Y$ 的分布为： \[ 3X - 2Y \sim N(-6, 48) \] ### 最终答案 \[ \boxed{N(-6, 48)} \]

解析

本题考查考查正态分布的性质，解题思路是利用正态分布的线性组合性质，分别计算出$3X - 2Y$的均值和方差，进而确定其分布。

**计算$3X - 2Y$的均值：
- 对于两个随机变量$X$和$Y$，它们的线性组合$aX + bY$的均值为$E(aX + bY)=aE(X) + bE(Y)$。
- 已知$X\sim N(-2,4)$，则$E(X)= - 2$；$Y\sim N(0,3)$，则$E(Y)= 0$，这里$a = 3$，$b = -2$。
- 所以$E(3X - 2Y)=3E(3X)+E(-2Y)=3E(X)-2E(Y)$。
- 将$E(X)= -2$，$E(Y)= 0$代入上式可得：$3\times(-2)-2\times0=-6$。
  2.计算$3X - 2Y$的方差：
- 对于两个独立的随机变量$X$和$Y$，它们的线性组合$aX + bY$的方差为$Var(aX + bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)$。
- 已知$Var(X)= 4$，$Var(Y)= 3$，$a = 3$，$b = -2$。
- 所以$3X - 2Y)=Var(3X)+Var(-2Y)=3^{2}Var(X)+(-2)^{2}Var(Y)$。
- 计算可得：$9\times4 + 4\times3=36 + 12 = 48$。
  3.确定$3X - 2Y$的分布：
- 因为$X$和$Y$都是正态分布的，根据正态分布的性质，它们的线性组合$3X - 2Y$也是正态分布的。
- 由前面计算可知均值为$-6$，方差为$48$，所以$3X - 2Y\sim N(-6,48)$。