题目
4． 对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量 X 和 Y，如果E(XY)=E(X)E(Y)，则有()A. D(XY)=D(X)D(Y)B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)C. X 和 Y 相互独立D. X 和 Y 不相互独立
4． 对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量 X 和 Y，如果E(XY)=E(X)E(Y)，则有()
A. D(XY)=D(X)D(Y)
B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C. X 和 Y 相互独立
D. X 和 Y 不相互独立
题目解答
答案
B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
解析
步骤 1：理解题目条件
题目给出的条件是 E(XY) = E(X)E(Y)，其中 E 表示期望值。这个条件意味着随机变量 X 和 Y 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 D(XY) = D(X)D(Y)，其中 D 表示方差。根据方差的定义，D(XY) 不一定等于 D(X)D(Y)，因为方差涉及的是随机变量的平方期望值减去期望值的平方，而 E(XY) = E(X)E(Y) 并不直接给出关于方差的信息。因此，选项 A 不正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示 D(X+Y) = D(X) + D(Y)。根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)，其中 cov(X,Y) 是 X 和 Y 的协方差。题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 意味着 cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0。因此，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2*0 = D(X) + D(Y)。所以，选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C 和 D
选项 C 和 D 分别表示 X 和 Y 相互独立和不相互独立。题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 只是表明 X 和 Y 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积，这并不足以断定 X 和 Y 是否相互独立。因此，选项 C 和 D 都不正确。
题目给出的条件是 E(XY) = E(X)E(Y)，其中 E 表示期望值。这个条件意味着随机变量 X 和 Y 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积。
步骤 2：分析选项 A
选项 A 表示 D(XY) = D(X)D(Y)，其中 D 表示方差。根据方差的定义，D(XY) 不一定等于 D(X)D(Y)，因为方差涉及的是随机变量的平方期望值减去期望值的平方，而 E(XY) = E(X)E(Y) 并不直接给出关于方差的信息。因此，选项 A 不正确。
步骤 3：分析选项 B
选项 B 表示 D(X+Y) = D(X) + D(Y)。根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y)，其中 cov(X,Y) 是 X 和 Y 的协方差。题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 意味着 cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0。因此，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2*0 = D(X) + D(Y)。所以，选项 B 正确。
步骤 4：分析选项 C 和 D
选项 C 和 D 分别表示 X 和 Y 相互独立和不相互独立。题目条件 E(XY) = E(X)E(Y) 只是表明 X 和 Y 的乘积的期望值等于它们各自期望值的乘积，这并不足以断定 X 和 Y 是否相互独立。因此，选项 C 和 D 都不正确。